TOUGH
교집합 조건으로 미지수 결정
차집합 · 대칭차집합
출제의도
이 문항은 교집합의 원소 조건에서 미지수를 역으로 확정하는 능력을 묻습니다. A∩B={1, 4}라는 한 줄에는 “4가 A의 원소이면서 동시에 B의 원소”라는 정보가 숨어 있고, 이 중 확정적으로 쓸 수 있는 쪽을 골라내는 판단이 핵심입니다.
TOUGH 스텝에 배치된 이유는 4를 만들 수 있는 자리가 여러 곳으로 보이기 때문입니다. B에는 a+3, a², −a+3이라는 세 개의 후보가 있어 경우를 나누면 길이 길어집니다. 반면 A에는 a를 포함한 항이 a+6 하나뿐이므로, A쪽에서 출발하면 경우 나누기 없이 한 번에 a가 결정됩니다. 어느 쪽을 붙잡느냐로 풀이 시간이 몇 배 차이 나는 문제입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
A∩B={1, 4}이므로 4는 A에도 속하고 B에도 속합니다. A={1, 2, a+6}에서 4가 될 수 있는 자리는 a+6 하나뿐입니다. 1과 2는 상수이므로 4가 될 수 없기 때문입니다.
즉 경우를 나눌 필요 없이 a+6=4라는 방정식 하나가 바로 세워집니다. 미지수가 여러 항에 흩어져 있을 때는 후보가 가장 적은 쪽에서 식을 세우는 것이 원칙입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
a를 구했다면 A와 B의 원소를 모두 수로 바꿔 다시 적으세요. B의 세 항 a+3, a², −a+3에 각각 대입할 때 제곱과 부호를 침착하게 처리해야 합니다. 그리고 구한 A, B가 실제로 A∩B={1, 4}를 만족하는지 반드시 되짚어 확인합니다.
마지막으로 (A−B)∪(B−A)를 구합니다. A−B는 A에만 있는 원소, B−A는 B에만 있는 원소이므로, 두 집합을 나란히 적어 놓고 공통 원소를 지운 나머지를 모두 모으면 됩니다. 그 원소들의 합이 답입니다.
정답 확인
정답 ② 13 (a=−2)
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP AA∩B={1, 4}임을 이용하여 a의 값 구하기
A∩B={1, 4}이므로 4∈A입니다. A={1, 2, a+6}에서 4가 될 수 있는 원소는 a+6뿐이므로 a+6=4, 즉 a=−2입니다.
STEP B집합 (A−B)∪(B−A)의 모든 원소의 합 구하기
a=−2를 대입하면 A={1, 2, 4}, B={1, 4, 5, 6}입니다. 따라서 A−B={2}, B−A={5, 6}이므로 (A−B)∪(B−A)={2}∪{5, 6}={2, 5, 6}이고, 모든 원소의 합은 2+5+6=13입니다.
1등급 다른 풀이 · B쪽에서 후보를 모두 세운 뒤 걸러내기
만약 A가 아니라 B에서 출발한다면 4∈B이므로 a+3=4, a²=4, −a+3=4 세 가지를 모두 따져야 합니다. 각각 a=1, a=±2, a=−1이 나오므로 후보는 a=1, 2, −2, −1의 네 개입니다. 여기서 A∩B={1, 4}를 만족하는지 하나씩 검증하는 것이 두 번째 접근입니다.
a=1이면 A={1, 2, 7}, B={4, 1, 2, 6}이라 A∩B={1, 2}가 되어 조건에 어긋나고, a=2이면 A={1, 2, 8}, B={5, 4, 1, 6}이라 A∩B={1}이라 역시 탈락합니다. a=−1이면 A={1, 2, 5}, B={2, 1, 4, 6}이라 A∩B={1, 2}로 탈락하고, 오직 a=−2일 때만 A={1, 2, 4}, B={1, 4, 5, 6}으로 A∩B={1, 4}가 성립합니다. 답은 같지만 검증 과정이 네 배로 늘어납니다. 미지수가 한 항에만 들어 있는 집합을 먼저 공략하라는 원칙이 왜 중요한지 보여 주는 대비이므로, 두 길을 모두 경험해 두면 비슷한 유형에서 시간을 크게 아낄 수 있습니다.
덧붙여 (A−B)∪(B−A)는 대칭차집합 A△B이고, 이는 (A∪B)−(A∩B)와 같습니다. A∪B={1, 2, 4, 5, 6}에서 A∩B={1, 4}를 빼는 방식으로 계산하면 {2, 5, 6}이 한 번에 나오므로, 차집합을 두 번 구하는 수고를 줄일 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 미지수가 든 항이 몇 개인지 먼저 세어 보세요. A는 한 개, B는 세 개입니다. 적은 쪽에서 식을 세우면 경우 나누기가 사라집니다.
- a=−2를 B에 대입할 때 a²=(−2)²=4이고 −a+3=2+3=5입니다. 음수의 제곱과 −a의 부호에서 실수가 집중적으로 발생합니다.
- a를 구한 뒤 반드시 원래 조건으로 되돌아가 검증하세요. 집합 문제는 원소가 중복되거나 조건을 어기는 경우가 생겨 답이 걸러지는 일이 흔합니다.
- (A−B)∪(B−A)는 A와 B의 공통 원소를 뺀 나머지 전부입니다. A−B만 구하고 끝내면 {2}만 남아 답이 2가 되어 버립니다.
- 마지막에 묻는 것은 집합이 아니라 원소의 합입니다. {2, 5, 6}을 답으로 고르지 않도록 문제 문장을 한 번 더 확인하세요.
엄선된 풀이 영상
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