행복한 일등급문제
유한집합의 원소의 개수
합집합의 여집합
2024년 3월 고2 학력평가 28번
출제의도
이 문항은 미지수 k가 전체집합의 크기를 결정하는 구조입니다. k가 정해지지 않았으니 A도 B도 정해지지 않지만, 두 개수의 곱이 15라는 조건 하나가 경우의 수를 유한하게 가둡니다. 곱이 특정한 값이라는 조건을 약수 분해로 바꾸는 발상이 이 문제의 출발점입니다.
두 번째 관문은 n(A)에서 k로 되돌아가는 과정입니다. A는 k 이하의 짝수의 집합이므로 n(A)가 정해져도 k는 두 개씩 대응됩니다. 이 ‘하나의 개수에 두 개의 k’라는 구조를 놓치면 정답이 되는 경우를 통째로 빠뜨리게 됩니다. 후보를 빠짐없이 세우고 하나씩 대입해 확인하는 성실함이 곧 점수인 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
두 자연수의 곱이 15라는 조건에서 n(A)는 15의 양의 약수여야 합니다. 후보는 네 개뿐이므로 n(A)의 값부터 나열해 보세요.
A는 k 이하의 짝수의 집합입니다. 예를 들어 n(A)=1이면 A={2}이고, 이때 k는 하나로 정해지지 않습니다. 짝수의 개수는 k가 1 늘어난다고 항상 늘어나는 것이 아니기 때문입니다. n(A) 하나마다 k가 두 개씩 나온다는 점을 확인하고 후보 표를 만드세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
k 후보가 정해지면 B는 k의 약수의 집합이므로 곧바로 나열됩니다. A∪B를 만든 뒤 U에서 빼면 (A∪B)c가 나옵니다. 이때 여집합에 남는 수들이 어떤 성질을 갖는지 관찰해 보세요. 짝수는 이미 A에 있으니 남는 것은 홀수뿐입니다.
각 k에 대해 n(A)×n((A∪B)c)를 계산해 15가 되는 k를 찾습니다. 조건을 만족하는 k를 찾았다면 그때의 (A∪B)c를 정확히 나열하고, 합이 아니라 곱을 구해야 한다는 점에 유의하세요.
정답 확인
정답 189
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP An(A)가 15의 약수임을 이용해 k의 후보 세우기
n(A)×n((A∪B)c)=15이므로 n(A)는 15의 양의 약수인 1, 3, 5, 15 중 하나입니다. A가 k 이하의 짝수의 집합이므로 n(A)=1이면 k=2 또는 3, n(A)=3이면 k=6 또는 7, n(A)=5이면 k=10 또는 11, n(A)=15이면 k=30 또는 31로 후보가 여덟 개 나옵니다.
STEP B후보를 대입해 조건을 만족하는 k 찾기
k=2, 3일 때는 여집합이 공집합이 되어 곱이 0이고, k=6, 7일 때는 곱이 각각 3, 6입니다. k=11이면 20, k=30이면 165, k=31이면 210으로 모두 15가 아닙니다. k=10일 때 A={2, 4, 6, 8, 10}, B={1, 2, 5, 10}이므로 (A∪B)c={3, 7, 9}이고 5×3=15로 조건을 만족합니다.
STEP C(A∪B)c의 원소의 곱 구하기
따라서 구하는 값은 3×7×9=189입니다.
1등급 다른 풀이 · 여집합을 ‘홀수 중 약수가 아닌 수’로 보기
A가 k 이하의 짝수 전체이므로, (A∪B)c에 남을 수 있는 수는 홀수뿐입니다. 게다가 B는 k의 약수의 집합이므로, 결국 (A∪B)c는 ‘k 이하의 홀수 중 k의 약수가 아닌 것’의 집합입니다.
이렇게 보면 개수를 세는 일이 훨씬 빨라집니다. k 이하의 홀수의 개수에서 k의 홀수인 약수의 개수를 빼면 곧바로 n((A∪B)c)가 나오기 때문입니다. k=10이라면 홀수는 1, 3, 5, 7, 9의 다섯 개, 10의 홀수인 약수는 1과 5의 두 개이므로 여집합의 원소는 3개입니다. 매번 A∪B를 나열하지 않고도 여덟 개의 후보를 순식간에 걸러낼 수 있어 시간 관리에 큰 도움이 됩니다.
실수를 줄이는 전략
- n(A)가 정해져도 k는 두 개씩 대응됩니다. k=10만 보고 k=11을 빠뜨리거나 그 반대로 하면 검증이 불완전해집니다.
- 1은 언제나 k의 약수이므로 항상 B에 들어갑니다. 여집합을 만들 때 1을 남겨 두는 실수가 잦습니다.
- 2는 k가 짝수일 때 A에도 B에도 들어갑니다. 합집합을 만들 때 중복을 두 번 세지 않도록 주의하세요.
- k>1이라는 조건이 붙어 있으므로 k=1은 애초에 후보가 아닙니다.
- 마지막에 구하는 것은 원소의 곱입니다. 3+7+9=19로 답하는 실수가 가장 흔합니다.
엄선된 풀이 영상
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