최다빈출 왕중요
TOUGH
부분집합의 개수
원소의 합의 총합
출제의도
이 문항은 부분집합을 하나씩 나열해 더하는 방식으로는 시간이 감당되지 않는 상황을 일부러 만들어 놓고, 관점을 바꿔 세는 능력을 묻습니다. 집합별로 세로로 더하는 대신, 원소 하나가 전체에서 몇 번 더해지는지를 가로로 세면 계산이 한 줄로 끝납니다. 집합 단원에서 가장 자주 재출제되는 발상입니다.
TOUGH 스텝에 배치된 이유는 세는 대상이 두 종류로 겹쳐 있기 때문입니다. 집합의 개수 n을 구하는 조합과, 한 원소가 등장하는 횟수를 구하는 조합이 서로 다른 식이라는 점을 구분하지 못하면 같은 수를 두 번 쓰는 실수가 나옵니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
10개의 집합을 모두 적어 각각의 합을 구한 뒤 더하는 것은 정답에 도달하지만 좋은 풀이가 아닙니다. 질문을 바꿔 보세요. “원소 1은 전체 합계 안에서 몇 번 더해지는가?”
1, 2, 3, 4, 5는 조건에서 완전히 대등한 위치에 있습니다. 어느 하나만 특별히 유리하거나 불리할 이유가 없으므로, 등장 횟수도 모두 같습니다. 이 대칭성을 확인하고 나면 한 원소에 대해서만 세면 됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
먼저 원소의 개수가 3인 부분집합의 개수를 조합으로 구해 n을 확정합니다. 다음으로 원소 1을 반드시 포함하는 3원소 부분집합의 개수를 셉니다. 1은 이미 자리를 차지했으므로, 남은 자리 2개를 나머지 원소 4개 중에서 채우는 경우의 수입니다.
그 값을 구했다면 나머지 원소에도 똑같이 적용됩니다. 마지막 식은 (원소 전체의 합) × (한 원소의 등장 횟수) 형태가 됩니다. 5(원소의 개수)를 곱하지 않도록 주의하세요.
정답 확인
정답 ① 90
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A집합의 개수 n 구하기
원소가 5개인 집합에서 3개를 뽑아 만드는 부분집합의 개수이므로 ₅C₃ = ₅C₂ = 10입니다. 즉 n = 10이며, 이 값은 마지막 합산식에 직접 쓰이지는 않습니다.
STEP B한 원소가 등장하는 횟수 세기
원소 1을 반드시 포함하는 3원소 부분집합은, 1을 고정한 뒤 남은 4개 중 2개를 고르는 경우이므로 ₄C₂ = 6개입니다. 2, 3, 4, 5도 조건상 대등하므로 각각 6번씩 등장합니다.
STEP C총합 계산하기
전체 합계는 각 원소를 등장 횟수만큼 더한 것과 같으므로 S₁+S₂+⋯+Sₙ = (1+2+3+4+5) × 6 = 15 × 6 = 90입니다.
1등급 다른 풀이 · 전체 원소 자리를 한꺼번에 세기
10개의 부분집합에는 각각 원소가 3개씩 들어 있으므로, 등장한 원소의 자리 수를 모두 합하면 10 × 3 = 30개입니다. 이 30개의 자리를 5종류의 원소가 대등하게 나눠 가지므로 한 원소당 30 ÷ 5 = 6번입니다. STEP B의 조합 계산 없이도 같은 6이 나옵니다.
이 방식은 같은 대상을 두 방향에서 세는 이중계산(double counting) 논리이며, 숫자가 커져도 그대로 통합니다. 원소가 n개인 집합에서 r개짜리 부분집합을 모두 모으면, 각 원소의 등장 횟수는 ₙC_r × rn = ₙ₋₁C_{r−1}이 되어 총합 = (원소 전체의 합) × ₙ₋₁C_{r−1}이라는 공식으로 정리됩니다. 이 형태를 기억해 두면 유사 문항을 암산으로 처리할 수 있습니다.
내신 연계 확장 · 0이 섞이면 어떻게 달라지는가
집합을 A = {0, 1, 2, 3, 4}로 바꾸고 S₁+S₂+⋯+Sₙ+n의 값을 묻는 변형이 내신에서 자주 붙습니다. 원소의 개수가 여전히 5개이므로 n = ₅C₃ = 10, 각 원소의 등장 횟수도 ₄C₂ = 6으로 그대로입니다.
달라지는 것은 합뿐입니다. 0은 6번 등장하지만 합에는 전혀 기여하지 않으므로 6 × (0+1+2+3+4) = 60이고, 여기에 n = 10을 더해 70이 됩니다. 0은 개수에는 기여하지만 합에는 기여하지 않는다는 비대칭이 이 변형의 유일한 함정입니다.
실수를 줄이는 전략
- ₅C₃과 ₄C₂의 역할을 구분하세요. 앞의 10은 집합이 몇 개인가, 뒤의 6은 한 원소가 몇 번 등장하는가입니다. 서로 다른 질문에 대한 답입니다.
- 1을 포함하는 경우를 셀 때 남은 4개 중 2개를 고릅니다. 3개를 고르면 원소가 4개인 집합이 되어 조건에 어긋납니다.
- “각각 6번”은 원소들이 조건에서 대등할 때만 성립합니다. 특정 원소에만 조건이 붙은 문제라면 원소별로 따로 세야 합니다.
- 마지막 곱셈에서 15는 원소의 합입니다. 원소의 개수 5를 곱해 30이나 60을 만드는 실수가 가장 흔합니다.
- 선택지에 90, 95, 100이 나란히 있으므로 검산 습관이 필요합니다. 가장 작은 집합 {1,2,3}의 합 6부터 가장 큰 {3,4,5}의 합 12까지 평균이 9임을 이용하면 9 × 10 = 90으로 빠르게 확인됩니다.
엄선된 풀이 영상
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