TOUGH
차집합과 포함관계
조건이 붙은 부분집합의 개수
출제의도
이 문항은 차집합 조건을 포함관계로 바꾸고, 원소를 세 부류로 갈라 곱의 법칙을 적용하는 능력을 묻습니다. C−A=∅은 C가 A 밖으로 한 발도 나가지 못한다는 뜻이고, n(B∩C)=2는 B의 원소 세 개 중 정확히 두 개만 C에 들어간다는 뜻입니다. 두 조건을 모두 원소 단위의 지시로 바꾸는 것이 출발점입니다.
TOUGH 스텝인 이유는 원소를 “반드시 넣는 것”, “반드시 빼는 것”, “마음대로 하는 것”의 세 부류로 정확히 나눠야 하기 때문입니다. 특히 정확히 두 개라는 조건은 두 개를 넣으라는 지시인 동시에 남은 한 개를 반드시 빼라는 지시입니다. 이 숨은 절반을 놓치면 개수가 두 배로 부풀어 오답이 됩니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
차집합이 공집합이라는 말은 “빼고 남은 것이 없다”, 곧 포함관계입니다. C−A=∅을 포함관계로 다시 쓰면 C가 어느 집합 안에 갇히는지가 정해지고, 그 순간 C를 만들 재료가 A의 원소 여덟 개로 한정됩니다.
그다음 B={1, 2, 3}의 세 원소를 따로 떼어 보세요. 이 셋은 C에 들어갈 개수가 정확히 지정되어 있는 특별한 원소이고, A의 나머지 원소들은 아무 제약이 없는 자유로운 원소입니다. 제약이 있는 부분과 없는 부분을 분리한 뒤 곱하는 것이 이런 문제의 표준 골격입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
1, 2, 3 중 C에 넣을 두 개를 고르는 방법이 몇 가지인지 먼저 세어 보세요. 세 개 중 두 개를 고르는 것은 곧 빼놓을 한 개를 고르는 것과 같으므로 가짓수가 아주 쉽게 나옵니다.
이제 남은 원소들을 봅니다. A의 원소 여덟 개 중 1, 2, 3에 대해서는 넣을지 뺄지가 이미 확정되었으므로 자유로운 원소는 나머지 다섯 개뿐이고, 각각 넣거나 빼는 두 가지 선택이 가능합니다. 마지막에 두 결과를 곱하면 됩니다.
정답 확인
정답 96
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건을 원소 단위의 지시로 번역하기
C−A=∅에서 C⊂A이므로 C는 A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}의 부분집합입니다. 여기에 n(B∩C)=2가 더해지므로, C는 1, 2, 3 중 정확히 두 개를 원소로 갖고 나머지 한 개는 갖지 않는 A의 부분집합입니다.
STEP B선택과 자유를 곱하기
1, 2, 3 중 두 개를 고르는 경우는 (1, 2), (1, 3), (2, 3)으로 3가지입니다. 각 경우마다 두 개는 반드시 넣고 한 개는 반드시 빼므로 자유로운 원소는 4부터 8까지 다섯 개이고, 부분집합의 개수는 2⁸⁻²⁻¹=2⁵=32입니다. 따라서 3×32=96입니다.
1등급 다른 풀이 · 전체를 쪼개 검산까지 한 번에
C⊂A인 모든 집합은 C∩B와 C∩(A−B) 두 조각으로 유일하게 나뉩니다. 앞 조각은 {1, 2, 3}의 부분집합, 뒤 조각은 {4, 5, 6, 7, 8}의 부분집합이므로, C를 만드는 일은 두 부분집합을 독립적으로 고르는 일과 완전히 같습니다. 여기서 앞 조각의 원소 개수만 2로 지정된 것이 이 문제의 조건입니다.
따라서 답은 ₃C₂×2⁵=3×32=96입니다. 이 구조의 장점은 검산이 즉시 된다는 점입니다. 앞 조각의 원소 개수를 0, 1, 2, 3으로 모두 더하면 (₃C₀+₃C₁+₃C₂+₃C₃)×2⁵=8×32=256=2⁸이 되어 A의 전체 부분집합 개수와 정확히 일치합니다. 조건이 “정확히 1개”나 “적어도 2개”로 바뀌어도 앞 조각의 계수만 갈아 끼우면 되므로, 변형 문제에 가장 강한 접근입니다.
실수를 줄이는 전략
- C−A=∅은 C⊂A입니다. 차집합이 비었다는 말을 A−C=∅, 즉 A⊂C로 뒤집어 읽으면 문제가 완전히 달라지므로 어느 쪽에서 뺐는지 반드시 확인하세요.
- n(B∩C)=2는 “적어도 2개”가 아니라 “정확히 2개”입니다. 남은 한 개를 반드시 제외한다는 지시가 함께 들어 있고, 이를 빠뜨리면 답이 두 배가 됩니다.
- 지수에서 빼야 할 원소는 넣기로 한 2개와 빼기로 한 1개를 합친 3개입니다. 2⁸⁻²로 계산해 192가 나왔다면 바로 이 지점을 놓친 것입니다.
- 기준 집합은 A이지 전체집합이 아닙니다. 이 문제에는 U가 주어져 있지 않으므로 8을 기준으로 세야 합니다.
- 고르는 단계와 자유로운 단계는 더하는 것이 아니라 곱합니다. 3+32=35 같은 답이 나왔다면 곱의 법칙을 다시 확인하세요.
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