TOUGH
집합의 연산법칙
드모르간의 법칙
출제의도
이 문항은 집합의 연산법칙을 ‘외웠는가’가 아니라 ‘연달아 쓸 수 있는가’를 묻습니다. 보기 네 개 모두 차집합·여집합·교집합·합집합이 뒤섞인 복합식이고, 어느 하나도 한 줄에 정리되지 않습니다. 차집합을 여집합으로 바꾸고, 드모르간의 법칙으로 괄호를 풀고, 분배법칙으로 묶고, 마지막에 A∪Aᶜ=U와 A∩Aᶜ=∅으로 소거하는 흐름을 네 번 반복해야 합니다.
TOUGH 스텝에 배치된 이유는 계산이 어려워서가 아니라 길어서입니다. 한 줄에서 법칙 이름을 잘못 고르면 그 아래 다섯 줄이 전부 무너집니다. 한 줄 정리할 때마다 ‘지금 쓴 법칙이 무엇인지’ 옆에 적어두는 습관이 이 문항의 정답률을 바꿉니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
모든 보기에 차집합 기호가 들어 있습니다. 가장 먼저 할 일은 예외 없이 A−B=A∩Bᶜ로 바꿔 차집합을 없애는 것입니다. 식에 남는 연산이 ∩, ∪, 여집합 세 가지뿐이면 그때부터는 분배법칙과 드모르간의 법칙만으로 기계적으로 정리됩니다.
정리의 종착점도 미리 알아두세요. 이런 유형은 결국 B∪Bᶜ=U, B∩Bᶜ=∅, A∩U=A, A∪∅=A 중 하나로 끝납니다. 즉 ‘어떻게 하면 같은 문자의 원식과 여집합을 한 괄호 안에 모을 수 있을까’를 목표로 삼고 분배법칙을 쓰면 방향을 잃지 않습니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
ㄱ은 A∩B와 A−B를 먼저 묶어 A∩(B∪Bᶜ)=A를 만든 뒤 남은 B−A와 합치고, ㄴ은 (A∩Bᶜ)ᶜ에 드모르간을 적용해 Aᶜ∪B를 만든 다음 Bᶜ와 교집합을 잡습니다. B∩Bᶜ=∅이 나오는 순간 식이 급격히 짧아집니다.
ㄷ은 괄호가 겹쳐 있어 겁이 나지만, (B−A)ᶜ=Bᶜ∪A라는 한 줄만 통과하면 양쪽 모두 A를 공통으로 갖는 합집합 꼴이 되어 흡수됩니다. ㄹ은 앞 중괄호와 뒤 중괄호를 따로 정리하는 것이 요령입니다. 각각 A와 Aᶜ로 줄어들고 나면 마지막 한 줄은 자명합니다.
네 보기 모두 참인지 거짓인지 판정한 뒤, 반드시 선택지 번호와 대조해 마무리하세요.
정답 확인
정답 ⑤ (ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ 모두 참)
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 식 전개를 따라가기 전에 보기별 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Aㄱ · 차집합을 여집합으로 바꾸고 분배법칙으로 묶기
세 덩어리를 모두 ∩ 꼴로 바꾼 뒤 A를 공통으로 갖는 두 개를 먼저 묶으면 A∩(B∪Bᶜ)=A∩U=A가 됩니다. 남은 B∩Aᶜ와 합치고 다시 분배법칙을 쓰면 U∩(A∪B)가 되어 A∪B로 정리됩니다. [참]
STEP Bㄴ · 드모르간 → 분배 → 공집합 소거
(A−B)ᶜ=(A∩Bᶜ)ᶜ=Aᶜ∪B로 바꾼 뒤 Bᶜ와 교집합을 잡으면 (Aᶜ∩Bᶜ)∪(B∩Bᶜ)가 됩니다. 뒤쪽이 공집합이므로 Aᶜ∩Bᶜ만 남고, 이는 드모르간에 의해 (A∪B)ᶜ입니다. [참]
STEP Cㄷ · 겹괄호를 A 중심으로 흡수시키기
앞 괄호는 A∪(Bᶜ∪A)=A∪Bᶜ, 뒤 괄호는 (B∪A)∩(Aᶜ∪A)=B∪A로 줄어듭니다. 두 결과의 교집합에 분배법칙을 적용하면 A∪(Bᶜ∩B)=A∪∅=A입니다. [참]
STEP Dㄹ · 앞뒤 중괄호를 따로 정리한 뒤 합치기
앞 중괄호는 A∩(B∪Bᶜ)=A, 뒤 중괄호는 Aᶜ∩(B∪Bᶜ)=Aᶜ로 각각 줄어듭니다. 따라서 전체 식은 A∪Aᶜ=U입니다. [참] 네 보기가 모두 참이므로 답은 ⑤입니다.
1등급 다른 풀이 · 영역에 번호를 붙여 판정하기
식 전개가 길어질수록 실수가 쌓입니다. 이럴 때는 전체집합을 벤 다이어그램의 네 영역으로 쪼개고 번호를 붙이는 방법이 훨씬 빠릅니다. ①=A∩B, ②=A−B, ③=B−A, ④=(A∪B)ᶜ라 두면 모든 집합은 번호들의 모임으로 표현됩니다. A={①,②}, B={①,③}, Aᶜ={③,④}, Bᶜ={②,④}처럼요.
이제 각 보기를 번호 계산으로 바꿔 봅니다. ㄱ은 {①}∪{②}∪{③}={①,②,③}=A∪B, ㄴ은 (A−B)ᶜ={①,③,④}에서 B의 원소 ①,③을 빼면 {④}=(A∪B)ᶜ, ㄷ은 {①,②,④}∩{①,②,③}={①,②}=A, ㄹ은 {①,②}∪{③,④}=U. 네 줄 만에 판정이 끝납니다.
번호 방식의 장점은 교집합이 ‘공통 번호 고르기’, 합집합이 ‘번호 모으기’, 여집합이 ‘나머지 번호’로 단순해진다는 점입니다. 다만 이 방법은 확인용으로 쓰고, 서술형 답안에는 연산법칙을 이름과 함께 적는 정석 전개를 쓰는 것이 안전합니다.
실수를 줄이는 전략
- 차집합은 무조건 A−B=A∩Bᶜ로 먼저 바꾸세요. 차집합을 남겨둔 채 분배법칙을 쓰려다 A−(B∩C)를 (A−B)∩(A−C)로 착각하는 실수가 가장 많습니다.
- (A∩Bᶜ)ᶜ는 Aᶜ∩B가 아니라 Aᶜ∪B입니다. 드모르간에서는 기호가 반드시 뒤집힙니다.
- 분배법칙을 쓸 때 목표를 정하세요. ‘같은 문자의 원식과 여집합을 한 괄호에 모은다’가 목표이고, 그 결과가 U 또는 ∅이 되면서 식이 끝납니다.
- 보기가 네 개인 합답형은 판정이 끝난 뒤 선택지 대조에서 한 번 더 틀립니다. ㄱㄴㄷㄹ 옆에 참·거짓을 적어놓고 번호를 고르세요.
- ㄹ처럼 중괄호가 두 덩어리인 식은 절대 한꺼번에 전개하지 말고, 앞뒤를 따로 줄인 뒤 마지막에 합치세요.
엄선된 풀이 영상
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