TOUGH
부분집합
이차부등식·절댓값 부등식
출제의도
이 문항은 조건제시법으로 주어진 집합을 원소나열법으로 바꾼 뒤, 부분집합 관계를 수직선 위에서 판정하는 능력을 묻습니다. B는 이차부등식에서, C는 절댓값 부등식에서 나오므로 부등식 두 종류를 집합의 언어로 번역하는 과정이 그대로 문제의 뼈대가 됩니다.
TOUGH 스텝에 배치된 이유는 C가 미지수 k를 품은 ‘움직이는 집합’이기 때문입니다. k가 커질수록 C의 범위가 양쪽으로 넓어지는데, A와 B를 동시에 삼키는 순간이 언제인지를 양 끝 원소만으로 판정해야 합니다. 여기에 부등호가 <라서 끝값이 원소가 아니라는 점, 원소가 정수로 제한된다는 점이 겹치면서 실수가 몰립니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
세 집합 중 A만 이미 원소나열법입니다. 나머지 두 집합도 같은 형태로 바꿔야 비교가 가능합니다. B는 이차부등식을 인수분해해서 x의 범위를 구한 뒤 그 안의 정수만 골라내면 됩니다.
C는 절댓값 부등식입니다. |x−1|<k는 −k<x−1<k와 같으므로, 양변에 1을 더해 x의 범위로 정리하세요. 이때 k가 양의 정수라는 조건이 원소를 나열하는 데 쓰입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
A⊂C와 B⊂C를 따로 확인할 필요는 없습니다. 두 조건을 합치면 결국 A∪B⊂C이고, C가 하나의 구간이므로 A∪B의 가장 작은 원소와 가장 큰 원소만 C 안에 들어가면 나머지는 자동으로 따라옵니다.
A의 최소 원소는 −5, B의 최대 원소는 4입니다. C의 범위 −k+1<x<k+1에 대해 −k+1<−5와 k+1>4를 동시에 세우고 k의 범위를 구하세요. 두 부등식 중 더 강한 쪽이 답을 결정합니다.
정답 확인
정답 k의 최솟값 = 7
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 집합 B, C를 원소나열법으로 나타내기
x²−3x−4≤0에서 (x+1)(x−4)≤0이므로 −1≤x≤4이고, x가 정수이므로 B={−1, 0, 1, 2, 3, 4}입니다. |x−1|<k에서는 −k<x−1<k, 즉 −k+1<x<k+1이므로 C={−k+2, −k+3, ⋯, k}가 됩니다.
STEP Bk의 값의 범위 구하기
A⊂C이려면 A의 최소 원소 −5가 C에 들어가야 하므로 −k+1<−5, 즉 k>6입니다. B⊂C이려면 B의 최대 원소 4가 C에 들어가야 하므로 k+1>4, 즉 k>3입니다. 두 조건을 모두 만족하는 범위는 k>6이므로 양의 정수 k의 최솟값은 7입니다.
1등급 다른 풀이 · 정수 원소로 직접 비교하기
C를 부등식 형태로 두지 않고 원소나열법 C={−k+2, −k+3, ⋯, k}로 고정해 두면, 부등호 방향을 생각할 일 없이 정수끼리만 비교하면 됩니다. A∪B={−5, −3, −1, 0, 1, 2, 3, 4}이므로 필요한 것은 단 두 가지, C의 최소 원소가 −5 이하이고 C의 최대 원소가 4 이상이라는 조건뿐입니다.
−k+2≤−5에서 k≥7이고, k≥4에서 k≥4이므로 결론은 k≥7, 즉 최솟값 7입니다. 부등호가 <인지 ≤인지 헷갈리는 학생에게는 이 방식이 훨씬 안전합니다. 다만 C를 원소나열법으로 옮길 때 양 끝이 −k+2와 k라는 점을 정확히 잡아야 하므로, 첫 변환에 한 번 더 신경 쓰는 대신 이후 판정을 단순하게 만드는 교환이라고 보면 됩니다.
실수를 줄이는 전략
- C의 부등호는 ≤가 아니라 <입니다. −k+1과 k+1 자체는 C의 원소가 아니므로, 원소나열법으로 옮기면 양 끝은 −k+2와 k가 됩니다.
- A만 보고 k를 정하거나 B만 보고 정하면 안 됩니다. 두 조건을 모두 만족해야 하므로 더 강한 쪽(여기서는 A 쪽)이 답을 지배합니다.
- 집합 B와 C 모두 원소가 정수로 제한되어 있습니다. −1≤x≤4를 실수 구간으로 착각하면 원소 개수부터 어긋납니다.
- k>6에서 양의 정수 최솟값은 6이 아니라 7입니다. 등호가 없는 부등식이므로 6은 제외됩니다.
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