TOUGH
2022년 09월 고1 학력평가 26번
원점에 대한 대칭이동
원주각과 지름
원 위의 점의 좌표
수직 조건
출제의도
이 문항은 반지름이 10인 원 위에 놓인 점들과 수직 조건을 주고, 새로 생기는 두 점 C₁, C₂의 좌표를 묻습니다. 겉보기에는 “직선의 기울기를 구하고, 수직인 직선을 세우고, 원과 연립해서 교점을 구하라”는 정공법을 요구하는 것처럼 보입니다. 그런데 그 길로 들어서면 √91, √51이 기울기의 분모에 박힌 채로 이차방정식을 풀어야 해서 시험장에서는 사실상 완주가 어렵습니다.
출제자가 진짜로 확인하려는 것은 ∠A₁BC₁=90°라는 각의 조건을 ‘지름’으로 번역할 수 있는가입니다. 원 위의 세 점이 만드는 각이 직각이면 그 각과 마주 보는 현은 지름이고, 지름이면 중심이 그 현의 중점이 됩니다. 이 원은 중심이 원점이므로 결국 C₁은 A₁을 원점에 대하여 대칭이동한 점이 됩니다. 도형의 이동 단원에 이 문제가 배치된 이유가 바로 여기에 있습니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 점 B(−10, 0)이 어떤 점인지 확인하세요. (−10)²+0²=100이므로 B도 원 위의 점입니다. 그리고 C₁, C₂ 역시 “원과 만나는 점”이라고 했으니 원 위의 점입니다. 즉 A₁, B, C₁은 모두 같은 원 위에 있고, 이 세 점이 이루는 ∠A₁BC₁이 90°입니다.
여기서 원주각 성질을 거꾸로 떠올리세요. 반원에 대한 원주각이 90°라는 것은, 반대로 원주각이 90°이면 그 각이 바라보는 현은 지름이라는 뜻입니다. 선분 A₁C₁이 지름이라면 그 중점은 원의 중심, 즉 원점입니다. 원점이 중점이라는 말은 곧 두 점이 원점에 대하여 대칭이라는 말과 같습니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
이제 할 일은 A₁, A₂의 좌표를 구하는 것뿐입니다. x좌표가 각각 3, 7이라고 주어졌으므로 원 x²+y²=100에 대입해 y²을 구하고, 두 점이 제1사분면 위에 있다는 단서로 y의 부호를 양수로 확정하세요.
그다음 원점에 대한 대칭이동을 적용합니다. 원점 대칭은 x좌표와 y좌표의 부호가 모두 바뀌는 이동이므로, A(p, q)의 대칭점은 (−p, −q)입니다. 이렇게 얻은 C₁에서 y좌표를 a로, C₂에서 x좌표를 b로 읽어내면 됩니다. 묻는 좌표가 두 점에서 서로 다르다는 점에 주의하세요. 마지막으로 a²+b²을 계산할 때는 √를 그대로 제곱하면 되므로 근호가 남지 않습니다.
정답 확인
정답 a² + b² = 140
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A직각 조건을 지름으로 번역하기
∠A₁BC₁=90°이고 세 점 A₁, B, C₁이 모두 원 위에 있으므로, 이 원주각이 바라보는 선분 A₁C₁은 원의 지름입니다. 마찬가지로 ∠A₂BC₂=90°이므로 선분 A₂C₂도 지름입니다.
지름의 중점은 원의 중심이고, 이 원의 중심은 원점입니다. 따라서 C₁은 A₁을, C₂는 A₂를 각각 원점에 대하여 대칭이동한 점입니다. 원점 대칭에서는 x좌표와 y좌표의 부호가 모두 바뀝니다.
STEP B두 점 A₁, A₂의 좌표 구하기
원 x²+y²=100에 x=3을 대입하면 y²=100−3²=91이고, A₁이 제1사분면 위에 있어 y>0이므로 y=√91입니다. 즉 A₁(3, √91)입니다.
같은 방법으로 x=7을 대입하면 y²=100−7²=51이므로 y=√51이고, A₂(7, √51)입니다.
STEP C대칭이동으로 C₁, C₂ 구하고 a, b 읽기
C₁ — A₁(3, √91)의 원점 대칭점이므로 C₁(−3, −√91)입니다. 문제가 요구한 것은 C₁의 y좌표이므로 a = −√91입니다.
C₂ — A₂(7, √51)의 원점 대칭점이므로 C₂(−7, −√51)입니다. 문제가 요구한 것은 C₂의 x좌표이므로 b = −7입니다.
STEP Da²+b²의 값 계산
a = −√91, b = −7이므로 a²+b² = (−√91)² + (−7)² = 91 + 49 = 140입니다.
1등급 다른 풀이 · 좌표를 구하지 않고 끝내기
사실 이 문제는 √를 한 번도 쓰지 않고 답을 낼 수 있습니다. 대칭이동에서 좌표의 부호만 바뀌고 크기는 그대로라는 점, 그리고 마지막에 묻는 것이 제곱의 합이라는 점을 결합하면 됩니다.
a는 C₁의 y좌표이고 C₁은 A₁의 대칭점이므로 a² = (A₁의 y좌표)²입니다. 그런데 A₁은 원 위의 점이므로 (A₁의 y좌표)² = 100 − 3² = 91이 곧바로 나옵니다. 근호를 씌웠다가 다시 제곱할 필요가 없습니다.
b는 C₂의 x좌표이고 이는 A₂의 x좌표에 부호만 바뀐 값이므로 b² = 7² = 49입니다. 따라서 a²+b² = (100 − 3²) + 7² = 91 + 49 = 140. 원의 방정식에 x좌표를 대입하는 순간 y²까지만 구하고 멈추는 습관이 이런 문항에서 시간을 크게 벌어줍니다.
한 가지 더, 직각삼각형 A₁BC₁에서 빗변이 지름이므로 A₁B² + BC₁² = 20² = 400이라는 관계도 성립합니다. 선분의 길이를 묻는 변형 문항이 나오면 이 식이 곧바로 무기가 됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 각의 조건이 나오면 그 점들이 모두 원 위에 있는지부터 확인하세요. B(−10, 0)이 원 위의 점임을 확인하지 못하면 원주각 논리를 쓸 수 없어 정공법으로 끌려갑니다.
- 수직 조건을 보자마자 기울기의 곱을 −1로 놓고 직선을 세우는 것은 이 문제에서 가장 긴 길입니다. 기울기가 √91/13처럼 나오는 순간 방향을 의심하세요.
- 묻는 좌표가 서로 다릅니다. C₁에서는 y좌표, C₂에서는 x좌표입니다. 습관적으로 둘 다 y좌표를 읽으면 a²+b²이 91+51=142가 되어 오답이 됩니다.
- 원점에 대한 대칭은 x, y의 부호가 모두 바뀝니다. x축 대칭(y만 바뀜), y축 대칭(x만 바뀜)과 헷갈리지 마세요.
- “제1사분면 위에 있다”는 단서는 장식이 아닙니다. 이 조건이 없으면 y=±√91 중 어느 쪽인지 정해지지 않아 C₁의 위치가 두 개로 갈립니다.
- 답이 140인 단답형입니다. 정수로 딱 떨어지지 않으면 계산 어딘가에서 근호 처리를 잘못한 것이니 되돌아가 확인하세요.
엄선된 풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.