최다빈출 · 왕중요
TOUGH
대칭이동
직선 y=x에 대한 대칭
원점에 대한 대칭
삼각형의 넓이
출제의도
이 문항은 대칭이동을 두 번 연달아 적용한 뒤 만들어지는 삼각형의 넓이로 원래 점을 역추적하는 문제입니다. 점 A는 직선 y=x+8 위에 있다는 조건만 주어져 좌표가 확정되지 않은 상태이므로, A(a, a+8)처럼 미지수 하나로 문자를 세워두고 끝까지 끌고 가는 것이 출발점입니다. 대칭이동 자체는 규칙만 알면 기계적이지만, 문자를 달고 두 번 이동한 좌표를 정확히 유지하는 일이 만만치 않습니다.
진짜 승부처는 넓이를 구하는 방법의 선택입니다. 세 꼭짓점의 좌표만 보고 밑변과 높이를 잡으려 하면 계산이 폭발합니다. 하지만 삼각형 ABC가 직각삼각형임을 먼저 확인하면 두 직각변의 길이를 곱하는 것만으로 끝납니다. 기울기의 곱이 −1인지부터 확인하는 습관을 갖췄는지를 묻는, 최다빈출로 분류될 만한 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
점 A는 직선 y=x+8 위의 점이므로 x좌표를 a라 두면 y좌표는 a+8입니다. 게다가 A가 제1사분면 위의 점이라는 단서가 붙어 있으니 a>0입니다. 이 조건은 마지막에 절댓값을 벗길 때 결정적으로 쓰이므로 지금 적어두세요.
대칭이동 규칙은 두 개뿐입니다. 직선 y=x에 대한 대칭은 x좌표와 y좌표를 맞바꾸고, 원점에 대한 대칭은 두 좌표의 부호를 모두 바꿉니다. A → B → C의 순서대로 한 번씩 적용해 세 점의 좌표를 a로 모두 표현해 보세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
세 좌표를 손에 넣었다면 넓이 공식을 바로 꺼내지 말고, 먼저 두 직선 AB와 AC의 기울기를 구해 곱해 보세요. 두 값이 각각 상수로 딱 떨어지고 곱이 −1이 나옵니다. 즉 삼각형 ABC는 A에서 직각인 직각삼각형이므로, 넓이는 ½×AB×AC로 계산됩니다.
두 변의 길이를 구할 때 AB는 a가 통째로 소거되어 상수가 되고, AC만 a에 대한 식으로 남습니다. 넓이를 정리하면 16(a+4) 같은 일차식 하나가 되므로, 이것을 256과 놓고 a를 구하면 됩니다. 마지막으로 문제가 묻는 것은 a가 아니라 A의 x좌표와 y좌표의 합임을 잊지 마세요.
정답 확인
정답 32 (A(12, 20))
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A대칭이동으로 세 점의 좌표 표현하기
점 A는 직선 y=x+8 위의 점이므로 좌표를 A(a, a+8)이라 하고, 제1사분면 위의 점이므로 a>0입니다. 점 A를 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면 두 좌표가 바뀌어 B(a+8, a)이고, 점 B를 원점에 대하여 대칭이동하면 두 좌표의 부호가 모두 바뀌어 C(−a−8, −a)입니다.
STEP B삼각형 ABC가 직각삼각형임을 확인하기
두 변의 기울기를 각각 계산하면 다음과 같습니다.
직선 AB — 기울기는 (a+8)−aa−(a+8) = 8−8 = −1
직선 AC — 기울기는 (a+8)−(−a)a−(−a−8) = 2a+82a+8 = 1
두 기울기의 곱이 −1이므로 직선 AB와 AC는 수직으로 만납니다. 따라서 삼각형 ABC는 A에서 직각인 직각삼각형이고, 넓이는 ½×AB×AC로 구할 수 있습니다.
STEP C넓이가 256임을 이용하여 점 A의 좌표 구하기
두 직각변의 길이는 AB=√((a+8−a)²+(a−a−8)²)=√(64+64)=8√2이고, AC=√((−a−8−a)²+(−a−a−8)²)=√(2(2a+8)²)=2√2(a+4)입니다. a>0이므로 2a+8은 양수이고 절댓값이 그대로 벗겨집니다.
따라서 삼각형 ABC의 넓이는 ½×8√2×2√2(a+4)=16(a+4)입니다. 이것이 256이므로 a+4=16에서 a=12입니다.
즉 A(12, 20)이므로 구하는 x좌표와 y좌표의 합은 12+20=32입니다.
1등급 다른 풀이 · 중점연결정리로 수직을 읽기
기울기를 계산하지 않고도 직각을 알아볼 수 있습니다. 점 B는 점 A를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점이므로, 선분 AB는 직선 y=x와 수직이고 선분 AB의 중점 M은 직선 y=x 위에 있습니다. 대칭이동의 정의가 곧바로 수직 조건을 내어주는 셈입니다.
또 점 C는 점 B를 원점에 대하여 대칭이동한 점이므로 선분 BC의 중점은 원점 O입니다. 삼각형 ABC에서 M은 선분 AB의 중점, O는 선분 BC의 중점이므로 중점연결정리에 의해 선분 MO와 선분 AC는 평행합니다. 그런데 M과 O는 모두 직선 y=x 위의 점이므로 MO는 곧 직선 y=x이고, 따라서 AC는 y=x와 평행합니다. AB가 y=x와 수직이었으니 결국 AB와 AC가 수직임이 계산 없이 확정됩니다.
여기에 관찰 하나를 덧붙이면 계산이 더 줄어듭니다. A(a, a+8)과 B(a+8, a)의 좌표 차이는 언제나 (8, −8)이므로 AB=8√2는 a와 무관한 상수입니다. 즉 넓이 256이라는 조건은 사실상 AC의 길이 하나만을 결정하는 조건이고, ½×8√2×AC=256에서 AC=32√2를 먼저 구한 뒤 2√2(a+4)=32√2로 놓아도 a=12가 그대로 나옵니다.
실수를 줄이는 전략
- 대칭이동 두 가지를 순서대로 적용하세요. y=x 대칭은 (x, y)→(y, x), 원점 대칭은 (x, y)→(−x, −y)입니다. 순서를 바꾸어 A를 먼저 원점 대칭하면 C의 좌표가 (−a, −a−8)로 달라져 삼각형 자체가 바뀝니다.
- a>0 조건을 처음에 적어두세요. AC의 길이에서 √(2(2a+8)²)=√2·|2a+8|이 나오는데, 절댓값을 그냥 벗기면 a<−4인 경우까지 답으로 딸려 들어옵니다. 제1사분면 조건이 이를 막아줍니다.
- 넓이는 직각을 확인한 뒤에 구하세요. 밑변 BC를 잡고 A에서의 높이를 점과 직선 사이의 거리로 계산하는 길도 있지만, 문자가 붙은 상태에서는 분모의 근호가 지저분해져 실수가 급증합니다.
- 두 점 사이의 거리 공식에서 제곱 안의 부호를 조심하세요. AC의 x성분은 a−(−a−8)=2a+8이고 y성분은 (a+8)−(−a)=2a+8입니다. 괄호를 풀 때 −(−a−8)을 −a−8로 처리하는 실수가 가장 흔합니다.
- 마지막에 묻는 것은 a가 아니라 x좌표와 y좌표의 합입니다. a=12에서 멈추면 오답이고, a+(a+8)=2a+8=32까지 계산해야 합니다. 답을 적기 전에 문제의 마지막 문장을 다시 읽는 습관을 들이세요.
엄선된 풀이 영상
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