TOUGH
2011년 03월 고2 학력평가 27번
평행이동
포물선의 꼭짓점
직선의 평행이동
두 평행선 사이의 거리
출제의도
이 문항은 평행이동을 먼저 알아내고, 그 이동을 다른 도형에 그대로 적용하는 2단 구조의 문제입니다. 주어진 것은 포물선 두 개와 직선 하나인데, 정작 묻는 것은 직선 사이의 거리입니다. 즉 포물선은 이동량 (5, −5)를 알려주기 위한 장치일 뿐이고, 그 이동량을 직선에 옮겨 실은 뒤부터가 진짜 계산입니다.
이 문제가 TOUGH로 배치된 이유는 어느 도형에서 무엇을 읽어야 하는지 스스로 판단해야 하기 때문입니다. 포물선을 연립하거나 교점을 구하려 들면 길을 잃습니다. 포물선에서는 꼭짓점 하나만 뽑아 쓰고, 그 뒤로는 직선의 평행이동과 점과 직선 사이의 거리라는 익숙한 도구만으로 끝납니다. 어렵다기보다, 정보를 골라내는 안목을 묻는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
평행이동은 도형의 모든 점을 같은 방향으로 같은 거리만큼 옮깁니다. 그러니 두 포물선에서 서로 대응되는 점 하나씩만 찾으면 이동량이 확정됩니다. 포물선에서 대응되는 점으로 가장 잡기 쉬운 것은 무엇일까요? 두 식을 모두 완전제곱 꼴로 고쳐 보세요.
이동량 (a, b)를 손에 넣었다면, 그 다음은 같은 이동을 직선 l에 적용하는 일뿐입니다. 여기서 놓치기 쉬운 사실 하나는, 평행이동한 직선은 원래 직선과 반드시 평행하다는 점입니다. 기울기가 변하지 않으므로 “두 직선 사이의 거리”라는 표현이 성립합니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
직선 l : x−2y=0을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 옮기려면 x 자리에 x−a를, y 자리에 y−b를 넣습니다. 이동량의 부호가 음수일 때 대입식에서 부호가 한 번 더 뒤집힌다는 점에 주의하세요. 정리하면 l′은 x−2y+(상수)=0 꼴이 됩니다.
평행한 두 직선 사이의 거리는 한 직선 위의 아무 점에서 다른 직선까지의 거리와 같습니다. 원래 직선 l은 상수항이 0이므로 원점 (0, 0)이 l 위의 점입니다. 이 점에서 l′까지 점과 직선 사이의 거리 공식을 적용하면 한 줄로 끝납니다. 마지막으로 문제가 묻는 것이 d가 아니라 d²임을 확인하세요.
정답 확인
정답 d² = 45 (d = 3√5)
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A꼭짓점을 비교하여 평행이동을 알아내기
포물선 y=x²−2x는 y=(x−1)²−1이므로 꼭짓점의 좌표는 (1, −1)입니다. 포물선 y=x²−12x+30은 y=(x−6)²−6이므로 꼭짓점의 좌표는 (6, −6)입니다. 점 (1, −1)이 점 (6, −6)으로 옮겨진 것이므로, 이 평행이동은 x축의 방향으로 5만큼, y축의 방향으로 −5만큼입니다.
STEP B직선 l을 평행이동하여 l′ 구하기
직선 l : x−2y=0을 x축의 방향으로 5만큼, y축의 방향으로 −5만큼 평행이동하면 x 대신 x−5를, y 대신 y+5를 대입하여 (x−5)−2(y+5)=0이 됩니다. 전개하면 x−5−2y−10=0이므로 l′ : x−2y−15=0입니다. x, y의 계수가 그대로이므로 두 직선은 평행합니다.
STEP C두 평행선 사이의 거리 d 구하기
두 직선 l, l′ 사이의 거리 d는 직선 l 위의 한 점에서 직선 l′까지의 거리와 같습니다. l : x−2y=0은 상수항이 0이므로 원점 (0, 0)이 l 위의 점입니다.
거리 계산 — d = |0−2·0−15|√(1²+(−2)²) = 15√5 = 3√5
따라서 d² = (3√5)² = 45입니다. d를 구한 뒤 제곱을 빠뜨리지 않도록 주의하세요.
1등급 다른 풀이 · 직선을 옮기지 말고 점을 옮기기
l′의 방정식을 세우는 STEP B를 통째로 건너뛰는 길이 있습니다. 평행이동은 모든 점을 같은 만큼 옮기므로, l 위의 점 하나를 옮기면 그 상은 반드시 l′ 위에 있습니다. 원점 (0, 0)은 l 위의 점이고, 이 점의 상은 (5, −5)이므로 (5, −5)는 l′ 위의 점입니다.
두 평행선 사이의 거리는 l′ 위의 점에서 l까지의 거리로 재도 같습니다. 그러니 점 (5, −5)에서 직선 x−2y=0까지의 거리를 구하면 |5−2·(−5)|/√5 = 15/√5 = 3√5로 곧바로 나옵니다. 새 직선의 식을 세우는 과정이 통째로 사라집니다.
평행이동을 미정계수로 두고 확인하는 방법도 있습니다. y=x²−2x를 x축의 방향으로 a, y축의 방향으로 b만큼 옮기면 y−b=(x−a)²−2(x−a), 즉 y=x²−(2a+2)x+a²+2a+b입니다. 이것이 y=x²−12x+30과 같으므로 2a+2=12에서 a=5, a²+2a+b=30에 a=5를 넣으면 35+b=30에서 b=−5입니다. 꼭짓점을 이용한 결과와 일치하며, 꼭짓점을 잡기 어려운 도형에서도 통하는 일반적인 방법이라 알아둘 값어치가 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 이동의 방향과 순서를 먼저 못 박으세요. 이 문제는 y=x²−2x를 y=x²−12x+30으로 “옮기는” 이동입니다. 반대로 읽으면 (−5, 5)가 되어 l′의 상수항 부호가 뒤집힙니다.
- 완전제곱 변형에서 상수항 계산을 서두르지 마세요. y=x²−12x+30은 (x−6)²−36+30이므로 −6입니다. 30을 그대로 남겨 (x−6)²+30으로 적으면 이동량 자체가 틀어집니다.
- 직선의 평행이동도 부호를 뒤집어 대입합니다. y축 방향으로 −5만큼이므로 y 자리에 y−(−5)=y+5를 넣습니다. y−5를 넣으면 l′ : x−2y+5=0이 되어 d²=5가 나옵니다.
- 거리를 잴 때는 원점을 활용하세요. l의 상수항이 0이라는 것은 곧 원점이 l 위에 있다는 뜻입니다. 굳이 (2, 1) 같은 다른 점을 잡으면 분자 계산이 길어지고 부호 실수가 늘어납니다.
- 이 문항이 묻는 것은 d가 아니라 d²입니다. 3√5까지 구하고 답란에 3을 적거나 √5를 흘리는 사례가 많습니다. 3√5를 얻는 즉시 제곱해 45로 마무리하세요.
엄선된 풀이 영상
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