최다빈출 · 왕중요
TOUGH
평행이동
이차함수와 직선의 교점
근과 계수의 관계
선분의 중점
출제의도
이 문항은 평행이동과 근과 계수의 관계를 한 문제 안에서 이어 붙인 최다빈출 유형입니다. 이차함수를 평행이동시켜 새로운 식을 만들고, 그 그래프와 직선 y=mx의 두 교점 P, Q에 대해 “선분 PQ의 중점이 원점”이라는 조건으로 m을 결정합니다. 이동·연립·근과 계수의 관계라는 세 단계가 순서대로 물려 있어, 한 곳만 어긋나도 답이 완전히 달라집니다.
출제자가 실제로 노리는 지점은 두 곳입니다. 하나는 평행이동에서 부호를 뒤집어 대입하는 규칙이고, 다른 하나는 교점의 좌표를 직접 구하려 들지 않는 판단력입니다. 두 교점의 x좌표를 α, β라 두면 중점 조건은 결국 α+β=0 하나로 압축되므로, 이차방정식을 굳이 풀 필요가 없습니다. 계산을 시작하기 전에 “무엇을 구하지 않아도 되는가”를 먼저 정리하는 것이 이 문제의 핵심입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 평행이동한 이차함수의 식부터 확정하세요. x축의 방향으로 −2만큼, y축의 방향으로 −1만큼 옮기는 것이므로, 원래 식의 x 자리에는 x+2를, y 자리에는 y+1을 넣습니다. “−2만큼 이동”인데 x+2를 넣는다는 점이 이 문제의 첫 관문입니다.
다음으로 P, Q가 이차함수와 직선의 교점이라는 사실에 주목하세요. 두 식을 연립하면 x에 대한 이차방정식이 나오고, 이 방정식의 두 근이 곧 P, Q의 x좌표입니다. 여기까지 오면 “중점이 원점”이라는 조건이 두 근에 대한 아주 짧은 한 줄로 번역됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
P의 x좌표를 α, Q의 x좌표를 β라 두면 두 점은 직선 y=mx 위에 있으므로 P(α, mα), Q(β, mβ)입니다. 중점의 좌표는 x성분과 y성분을 각각 평균 낸 것이므로 두 성분 모두 0이어야 하는데, y성분은 m(α+β)/2이므로 α+β=0 하나만 성립하면 자동으로 함께 해결됩니다. 조건을 두 개로 늘려 잡지 마세요.
이제 연립해서 얻은 이차방정식을 x²+(□)x+(□)=0 꼴로 정리하고, 근과 계수의 관계로 α+β를 m에 대한 식으로 나타내세요. 그 값을 0으로 놓으면 m이 곧바로 나옵니다. 마지막으로 두 근의 곱이 음수라는 점을 확인하면, 판별식을 따로 계산하지 않아도 교점이 항상 두 개임을 알 수 있습니다.
정답 확인
정답 m = 2
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A평행이동한 이차함수의 식 구하기
y=x²−2x를 x축의 방향으로 −2만큼, y축의 방향으로 −1만큼 평행이동하면, x 대신 x+2를, y 대신 y+1을 대입하여 y+1=(x+2)²−2(x+2)가 됩니다. 우변을 전개하면 x²+4x+4−2x−4=x²+2x이므로, 정리하면 y=x²+2x−1입니다.
STEP B직선과 연립하여 이차방정식 세우기
이차함수 y=x²+2x−1과 직선 y=mx의 교점을 구하므로 x²+2x−1=mx, 즉 x²+(2−m)x−1=0입니다. 이 이차방정식의 두 근이 곧 두 점 P, Q의 x좌표입니다. 두 근의 곱이 −1로 음수이므로, m의 값에 관계없이 서로 다른 두 실근을 가집니다.
STEP C중점 조건을 근의 합으로 바꾸어 m 구하기
두 점 P, Q의 x좌표를 각각 α, β라 하면 좌표는 P(α, mα), Q(β, mβ)입니다.
중점의 좌표 — 선분 PQ의 중점은 α+β2, m(α+β)2이고, 이것이 원점이므로 α+β=0 하나로 정리됩니다.
근과 계수의 관계 — x²+(2−m)x−1=0의 두 근의 합은 α+β=−(2−m)=m−2입니다.
따라서 m−2=0이므로 상수 m의 값은 2입니다.
1등급 다른 풀이 · 원점 대칭을 그대로 대입하기
선분 PQ의 중점이 원점이라는 말은 두 점 P, Q가 원점에 대하여 서로 대칭이라는 뜻입니다. 그러면 근과 계수의 관계를 꺼내지 않고도 좌표를 바로 잡을 수 있습니다. P의 좌표를 (α, mα)라 두면 Q의 좌표는 자동으로 (−α, −mα)가 되기 때문입니다.
이 두 점을 y=x²+2x−1에 각각 대입하면 mα=α²+2α−1과 −mα=α²−2α−1을 얻습니다. 두 식을 더하면 0=2α²−2이므로 α²=1이고, 빼면 2mα=4α입니다. α=0이면 두 점이 겹치므로 α≠0이고, 양변을 α로 나누면 2m=4, 즉 m=2입니다. 덤으로 α=1을 택하면 P(1, 2), Q(−1, −2)라는 실제 교점까지 손에 들어옵니다.
한 걸음 더 나아가면 계산은 거의 사라집니다. 두 근의 합이 0이라는 것은 이차방정식 x²+(2−m)x−1=0에서 일차항이 통째로 사라져야 한다는 뜻이므로, 2−m=0에서 m=2를 눈으로 읽어낼 수 있습니다. 근과 계수의 관계를 “일차항 계수가 0인가”로 바꿔 보는 습관은 이후 원·직선 단원에서도 계속 쓰입니다.
실수를 줄이는 전략
- 평행이동은 이동량의 부호를 뒤집어 대입합니다. x축 방향으로 −2만큼이면 x 대신 x+2, y축 방향으로 −1만큼이면 y 대신 y+1입니다. 부호를 그대로 넣어 (x−2)²−2(x−2)로 시작하면 이후 전부 어긋납니다.
- 전개 후 상수항을 놓치기 쉽습니다. y+1=x²+2x에서 1을 우변으로 넘겨 y=x²+2x−1까지 마무리하세요. y=x²+2x에서 멈추면 이 문제에서는 답이 우연히 같아 보여도, 교점 좌표를 묻는 변형 문항에서 그대로 틀립니다.
- 중점 조건은 x좌표만 따지면 충분합니다. P, Q가 모두 직선 y=mx 위의 점이므로 y좌표의 합은 m(α+β)로 자동 결정됩니다. y좌표에 대한 식을 따로 세워 연립하려 들면 시간만 새어 나갑니다.
- 근과 계수의 관계에서 부호를 한 번 더 확인하세요. x²+(2−m)x−1=0의 두 근의 합은 2−m이 아니라 −(2−m)=m−2입니다. 여기서 부호를 흘리면 m=−2가 나옵니다.
- 답을 낸 뒤 교점이 실제로 두 개인지 확인하는 습관을 들이세요. 이 문항은 두 근의 곱이 −1이라 항상 실근이 두 개지만, 상수항이 양수인 유사 문항에서는 판별식 조건이 답을 걸러내는 장치로 등장합니다.
엄선된 풀이 영상
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