TOUGH
2022년 03월 고2 학력평가 27번
원의 평행이동
원과 직선의 접선 조건
점과 직선 사이의 거리
두 원의 위치관계
출제의도
미지수가 a, b, r 세 개인데 조건도 정확히 세 개 주어진 문항입니다. 원 C가 직선에 접한다는 것, 원 C′이 원 C의 중심을 지난다는 것, 그리고 원 C′도 같은 직선에 접한다는 것. 각 조건을 어떤 순서로 식으로 바꾸느냐에 따라 풀이가 매끄럽게 흐르기도 하고, 세 문자가 뒤엉킨 연립방정식이 되기도 합니다.
실전에서 이 문항이 27번(단답형 후반부)에 배치된 이유는 마지막 경우 나누기에 있습니다. 절댓값을 벗기면 직선 조건이 두 갈래로 갈라지는데, 그중 하나는 해가 존재하지 않습니다. 존재하지 않는다는 것을 근거를 들어 버리는 과정까지가 이 문제의 요구 사항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
세 미지수 중 r만 혼자 결정되는 조건이 있는지 찾아보세요. 원 C의 중심 (1, 0)은 a, b와 무관하게 이미 알고 있고, 조건 (나)에서 원 C가 직선 4x−3y+21=0에 접한다고 했습니다. 접한다는 것은 중심에서 직선까지의 거리가 반지름과 같다는 뜻이므로, r은 첫 줄에서 바로 확정됩니다.
r을 손에 넣으면 남은 미지수는 a, b 두 개이고 조건도 두 개 남습니다. 조건 (가)는 점이 원 위에 있다는 뜻이므로 좌표를 대입하면 되고, 조건 (나)의 나머지 절반은 다시 거리 공식입니다. 평행이동한 원 C′의 중심이 (a+1, b)라는 것만 정확히 잡으면 됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
조건 (가)를 식으로 바꿀 때 방향에 주의하세요. “원 C′이 원 C의 중심을 지난다”는 것은 C의 중심 (1, 0)을 C′의 방정식에 대입한다는 뜻입니다. 대입해서 정리하면 a²+b²이 상수와 같다는, 아주 단순한 원 모양의 관계식이 나옵니다.
다음으로 C′의 중심 (a+1, b)에서 직선까지의 거리를 반지름과 같다고 놓으면 절댓값 방정식이 됩니다. 절댓값을 벗기면 a, b에 대한 일차식 두 개가 나오고, 앞의 관계식과 각각 연립합니다. 한쪽은 깔끔한 정수 해가 나오고, 다른 한쪽은 왜 해가 없는지를 크기 비교로 설명할 수 있어야 합니다.
정답 확인
정답 a+b+r = 12
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A원 C가 직선에 접함을 이용하여 r 구하기
원 C : (x−1)²+y²=r²의 중심은 (1, 0), 반지름의 길이는 r입니다. 직선 4x−3y+21=0에 접하므로 (중심에서 직선까지의 거리) = (반지름의 길이)입니다.
|4−0+21|√(4²+(−3)²) = 255 = r ∴ r = 5
STEP B조건 (가)로 a, b의 관계식 구하기
원 C를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 원 C′은
C′ : (x−a−1)²+(y−b)²=25
입니다. 이 원이 원 C의 중심 (1, 0)을 지나므로 대입하면 (1−a−1)²+(0−b)²=25, 즉
a²+b²=25 ……… ㉠
STEP C조건 (나)로 a, b 구하기
원 C′도 직선 4x−3y+21=0에 접하므로 중심 (a+1, b)에서의 거리가 5입니다.
|4(a+1)−3b+21|5 = 5 이므로 |4a−3b+25| = 25
절댓값을 벗기면 4a−3b+25=25 또는 4a−3b+25=−25이므로
4a−3b=0 또는 4a−3b=−50 ……… ㉡
( i ) 4a−3b=0인 경우 — b=43a를 ㉠에 대입하면 a²+169a²=259a²=25이므로 a²=9, a=±3입니다. a는 양수이므로 a=3, b=4입니다.
( ii ) 4a−3b=−50인 경우 — b=43a+503인데 a>0이므로 b>503이고, 이때 b²>25가 되어 a²+b²=25를 만족할 수 없습니다. 따라서 해가 존재하지 않습니다.
( i ), ( ii )에서 a=3, b=4이므로 a+b+r = 3+4+5 = 12입니다.
1등급 다른 풀이 · 두 접점을 잇는 선분이 직선과 평행함을 이용
직선 4x−3y+21=0을 l이라 하고, 두 원의 중심 A(1, 0), A′(a+1, b)에서 l에 내린 수선의 발을 각각 H, H′라 합시다. 두 원의 반지름이 모두 5이므로 AH = A′H′ = 5이고, 두 선분 모두 l에 수직입니다.
길이가 같고 같은 직선에 수직인 두 선분의 끝점을 이으면 평행사변형이 되므로, 직선 AA′은 직선 l과 평행합니다. 직선 l의 기울기가 4/3이므로
b−0(a+1)−1 = 43 ∴ b = 43a
가 곧바로 나옵니다. 이를 a²+b²=25에 대입하면 259a²=25에서 a²=9, 즉 a=3, b=4입니다. 절댓값을 벗겨 경우를 나누는 과정 자체가 사라지므로 시간이 크게 절약됩니다. 다만 이 풀이는 두 원이 직선의 같은 쪽에 있다는 그림 판단을 전제로 하므로, 답안에 쓸 때는 그림을 함께 제시하는 것이 안전합니다.
실수를 줄이는 전략
- 평행이동한 원의 중심을 (a, b)로 착각하지 마세요. 원래 중심이 (1, 0)이었으므로 옮긴 중심은 (a+1, b)입니다. 거리 공식의 분자에 4(a+1)이 들어가는 이유입니다.
- 조건 (가)는 “C′이 C의 중심을 지난다”입니다. 대입하는 점과 대입할 방정식을 반대로 잡으면 (a−1)² 같은 엉뚱한 식이 나옵니다. 지나는 쪽이 방정식, 지나지는 점이 대입 대상임을 확인하세요.
- |4a−3b+25|=25에서 25를 그냥 지워버리는 실수가 잦습니다. 절댓값 안의 식이 −25인 경우까지 반드시 남겨두고, 나중에 근거를 들어 버려야 합니다.
- ( ii )를 버리는 근거는 “복잡해서”가 아니라 a>0일 때 b가 5보다 커져 a²+b²=25를 넘기 때문입니다. 서술형이라면 이 한 줄이 배점에 직결됩니다.
- 마지막에 구하는 것은 a나 b 하나가 아니라 a+b+r입니다. r=5를 STEP A에서 구해놓고 마지막에 더하는 것을 잊어 7로 답하는 경우가 실제로 많습니다.
엄선된 풀이 영상
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