TOUGH
2018년 09월 고1 학력평가 27번
원의 평행이동
원과 직선의 접선 조건
점과 직선 사이의 거리
x축에 접하는 원
출제의도
미지수가 a, b 두 개인 원을 평행이동시킨 뒤, 접하는 조건 두 개를 각각 방정식으로 바꿔 연립하는 문항입니다. 조건은 딱 두 줄, 즉 직선 y=x에 접한다와 x축에 접한다이고, 미지수도 두 개이므로 구조적으로는 매우 정직한 문제입니다.
그런데도 오답이 많이 나오는 지점은 두 곳입니다. 하나는 y축 방향으로 −2만큼 이동할 때 y 대신 y+2를 넣어야 한다는 부호이고, 다른 하나는 마지막에 절댓값을 벗기며 나온 두 값 중 a>2라는 단서로 하나를 버리는 판단입니다. 계산 난도보다 조건 관리 능력을 묻는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
평행이동한 원의 중심과 반지름부터 확정하세요. 원 (x−a)²+(y−a)²=b²의 중심은 (a, a), 반지름은 b입니다. y축 방향으로 −2만큼 옮기면 중심의 y좌표만 2 줄어들어 중심 (a, a−2), 반지름 b가 됩니다. 방정식으로 쓸 때는 y 대신 y+2를 대입한다는 점에 주의하세요.
이제 접하는 조건 두 개를 각각 어떤 식으로 바꿀지 정합니다. 원이 직선에 접한다는 것은 중심에서 직선까지의 거리 = 반지름이라는 뜻이고, 원이 x축에 접한다는 것은 |중심의 y좌표| = 반지름이라는 뜻입니다. 둘 중 어느 조건을 먼저 쓰면 미지수가 하나 줄어드는지 살펴보세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
y=x에 접하는 조건을 먼저 쓰는 것이 결정적입니다. 직선을 x−y=0 꼴로 옮긴 뒤 중심 (a, a−2)를 거리 공식에 넣어보세요. 분자에서 a가 서로 소거되면서 a가 사라진 식이 남습니다. 즉 b가 a와 무관하게 하나의 수로 먼저 정해집니다.
b를 손에 넣었다면 x축에 접하는 조건 |a−2|=b를 씁니다. 절댓값을 벗기면 a의 후보가 두 개 나오는데, 문제의 단서 a>2가 그중 하나를 걸러줍니다. 마지막으로 a²−4b를 계산할 때는 (2+√2)²를 전개한 뒤 무리수 항이 어떻게 되는지 확인하세요.
정답 확인
정답 a²−4b = 6
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A평행이동한 원의 방정식 구하기
원 (x−a)²+(y−a)²=b²을 y축의 방향으로 −2만큼 평행이동하려면 y 대신 y+2를 대입합니다. 이 원을 C라 하면
C : (x−a)²+(y+2−a)²=b²
이므로 중심은 (a, a−2), 반지름의 길이는 b입니다.
STEP B직선 y=x에 접하는 조건으로 b 구하기
원 C가 직선 y=x에 접하므로 중심 (a, a−2)에서 직선 x−y=0까지의 거리가 반지름 b와 같습니다. 점 (x₁, y₁)에서 직선 ax+by+c=0까지의 거리는 |ax₁+by₁+c|/√(a²+b²)이므로
|a−(a−2)|√(1²+(−1)²) = |2|√2 = b ∴ b = √2
분자에서 a가 소거되어 b가 a와 무관하게 결정된다는 점이 이 문항의 핵심입니다.
STEP Cx축에 접하는 조건으로 a 구하기
원 C가 x축에 접하므로 |중심의 y좌표| = (반지름의 길이)입니다. 즉
|a−2| = b = √2 이므로 a−2=√2 또는 a−2=−√2
따라서 a=2+√2 또는 a=2−√2인데, 조건에서 a>2이므로 a=2+√2입니다.
STEP Da²−4b의 값 계산
a=2+√2, b=√2이므로
a²−4b = (2+√2)² − 4√2 = (4+4√2+2) − 4√2 = 6
무리수 항 4√2가 정확히 상쇄되어 정수 답이 나오는 구조입니다.
1등급 다른 풀이 · 중심이 움직이는 직선을 먼저 보기
계산에 들어가기 전에 그림으로 상황을 장악하는 방법이 있습니다. 이동한 원의 중심은 (a, a−2)이므로, a가 어떤 값이든 이 점은 항상 직선 y = x−2 위에 있습니다. 즉 중심은 직선 y=x와 평행한 직선 위를 미끄러지듯 움직입니다.
평행한 두 직선 사이의 거리는 위치와 상관없이 일정합니다. y=x와 y=x−2 사이의 거리는 2/√2=√2이므로, 원이 y=x에 접하려면 반지름은 a가 무엇이든 반드시 √2여야 합니다. STEP B의 거리 계산에서 a가 소거된 이유가 바로 이것입니다. 이 구조를 먼저 읽으면 b=√2를 계산 없이 확정하고 시작할 수 있습니다.
남은 조건은 x축에 접한다는 것뿐이니, 중심이 직선 y=x−2 위를 움직이다가 x축에서 √2만큼 떨어지는 순간을 찾으면 됩니다. 중심의 y좌표가 √2이거나 −√2인 두 순간이 있고, a>2는 그중 x축 위쪽에 중심이 놓이는 경우를 고르라는 뜻입니다.
실수를 줄이는 전략
- −2만큼 평행이동은 y 대신 y+2입니다. 방향(−2)과 대입(+2)의 부호가 반대라는 점에서 가장 많이 틀립니다. 방정식이 헷갈리면 중심 좌표만 (a, a)→(a, a−2)로 옮기는 방식으로 처리하세요.
- 거리 공식을 쓰기 전에 직선을 반드시 x−y=0 꼴로 옮겨 적으세요. y=x 상태로 계수를 읽으면 분모가 √2가 아니라 1이 되어버립니다.
- x축에 접하는 조건은 y좌표에 절댓값이 붙습니다. 그림에서 원이 위쪽에 있어 보인다고 절댓값을 빼고 a−2=√2만 쓰면, 조건 a>2가 왜 주어졌는지 설명할 수 없게 됩니다.
- a=2−√2 ≈ 0.59는 a>2를 만족하지 않으므로 버립니다. 두 후보를 모두 구한 뒤 단서로 걸러내는 절차를 답안에 남기는 것이 서술형에서도 감점을 막습니다.
- 마지막 계산에서 (2+√2)²을 4+2=6으로 급하게 처리하지 마세요. 교차항 2×2×√2=4√2가 반드시 나오고, 그것이 −4b와 상쇄되는 것이 이 문제의 마무리입니다.
엄선된 풀이 영상
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