행복한 일등급문제
2024년 03월 고2 학력평가 21번
두 접선
y=x 대칭·역함수
접선과 반지름의 수직
넓이비
출제의도
이 문항의 승부처는 첫 줄입니다. 두 직선 y=mx와 y=(1/m)x는 서로 역함수 관계이고, 따라서 직선 y=x에 대하여 대칭입니다. 이 사실을 알아채는 순간 한쪽 접점을 P(t, mt)로 놓기만 하면 다른 쪽 접점은 좌표를 맞바꾼 Q(mt, t)로 공짜로 얻어집니다. 대칭을 못 보면 원의 중심과 반지름을 미지수 두 개로 잡고 접선 조건을 두 번 세워야 해서 식이 급격히 무거워집니다.
21번 자리에 놓인 이유는 여기에 세 조건을 순서대로 얹어 미지수를 하나씩 지워야 하기 때문입니다. PQ=QR이라는 등분 조건이 m을 결정하고, 삼각형 넓이 24가 t를 결정하며, 마지막에야 비로소 접점에서의 수직 조건이 등장합니다. 앞 단계에서 하나라도 틀리면 뒤가 전부 무너지는 구조라, 각 조건이 어떤 미지수를 잡아먹는지 설계도부터 그리고 들어가야 하는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
y=mx에서 x와 y의 자리를 바꾸면 y=(1/m)x가 됩니다. 즉 두 직선 l₁, l₂는 역함수 관계이고 y=x에 대하여 대칭입니다. 그러므로 원도, 접점도 모두 y=x에 대해 대칭입니다. l₁의 접점을 P(t, mt)로 놓으면 l₂의 접점은 Q(mt, t)입니다.
대칭인 두 점을 이은 선분은 y=x에 수직이므로 직선 PQ의 기울기는 −1입니다. 이것만으로도 PQ가 x축, y축과 만나 만드는 삼각형이 직각이등변삼각형임을 알 수 있고, y절편과 x절편의 값이 같아집니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
조건 (가)의 PQ=QR에 대칭을 얹으면 PS=PQ=QR, 즉 선분 SR이 P와 Q에 의해 3등분됩니다. 세 점 S, P, Q, R에서 x축에 수선을 내리면 발 사이의 간격이 모두 같으므로, P의 x좌표가 t일 때 Q의 x좌표는 2t, R의 x좌표는 3t입니다. Q의 x좌표는 mt이기도 하므로 여기서 m이 결정됩니다.
조건 (나)는 넓이입니다. 밑변 PQ가 SR의 1/3이고 꼭짓점 O를 공유하므로 삼각형 POQ의 넓이는 삼각형 ORS 넓이의 1/3입니다. ORS는 직각을 낀 두 변이 OR, OS이므로 넓이를 t로 쉽게 쓸 수 있고, 여기서 t가 확정됩니다.
마지막은 접선의 기본 성질입니다. Q가 l₂의 접점이므로 반지름 AQ는 l₂에 수직입니다. l₂의 기울기를 알고 Q의 좌표를 알면 직선 AQ의 방정식이 나오고, 이를 l₁과 연립하면 점 B가 나옵니다.
정답 확인
정답 ④ BQ = 3√5
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A역함수 관계를 이용해 m의 값 구하기
두 직선 l₁ : y=mx, l₂ : y=(1/m)x는 역함수 관계이므로 y=x에 대하여 대칭입니다. 두 직선이 같은 원에 접하므로 l₁의 접점을 P(t, mt)라 하면 l₂의 접점은 Q(mt, t)입니다.
직선 PQ의 y절편을 S라 할 때, 조건 (가)에서 PQ=QR이고 대칭성에 의해 PS=PQ=QR입니다. P, Q에서 x축에 내린 수선의 발을 각각 H₁, H₂라 하면 OH₁ = H₁H₂ = H₂R = t가 됩니다.
따라서 Q의 x좌표는 2t인데 이는 mt와 같아야 하므로 mt=2t에서 m=2입니다. 즉 l₁ : y=2x, l₂ : y=½x입니다.
STEP B삼각형의 넓이를 이용해 t의 값 구하기
이제 P(t, 2t), Q(2t, t), R(3t, 0)입니다. P와 Q가 y=x에 대하여 대칭이므로 직선 PQ의 기울기는 −1이고, 따라서 S(0, 3t)입니다.
넓이비 — PS=PQ=QR이므로 삼각형 POQ의 넓이는 삼각형 ORS 넓이의 1/3입니다.
조건 (나) 적용 — 삼각형 POQ의 넓이가 24이므로 삼각형 ORS의 넓이는 24×3=72입니다.
t 결정 — ½ × OR × OS = ½ × 3t × 3t = (9/2)t² = 72에서 t²=16이고 t>0이므로 t=4
따라서 P(4, 8), Q(8, 4), R(12, 0), S(0, 12)로 모든 점이 확정됩니다.
STEP C직선 AQ와 l₁의 교점 B를 구해 BQ 계산하기
두 직선이 y=x에 대하여 대칭이므로 원의 중심 A는 y=x 위에 있습니다. 점 Q는 l₂의 접점이므로 반지름 AQ는 l₂와 수직이고, l₂의 기울기가 ½이므로 직선 AQ의 기울기는 −2입니다.
Q(8, 4)를 지나므로 AQ : y−4 = −2(x−8), 즉 y = −2x+20입니다. 점 B는 l₁ : y=2x와의 교점이므로 2x = −2x+20에서 4x=20, x=5이고 B(5, 10)입니다.
따라서 BQ = √((8−5)² + (4−10)²) = √(9+36) = √45 = 3√5입니다.
1등급 다른 풀이 · 직각삼각형 OQB 하나로 끝내기
점 B의 좌표를 구하지 않고도 BQ의 길이는 나옵니다. Q가 접점이므로 ∠OQB=90°이고, 삼각형 OQB는 O에서 두 직선 l₁, l₂가 이루는 각을 낀 직각삼각형입니다.
먼저 OQ는 Q(8, 4)까지의 거리이므로 OQ = √(64+16) = √80 = 4√5입니다. 다음으로 두 직선의 기울기가 각각 2와 ½이므로, 사잇각 θ에 대하여 tan θ = |(2 − ½) / (1 + 2×½)| = (3/2)/2 = 3/4입니다.
직각삼각형 OQB에서 BQ = OQ × tan θ = 4√5 × 3/4 = 3√5로 곧바로 답이 나옵니다. 직선 AQ의 방정식을 세우고 연립하는 과정을 통째로 건너뛰는 접근이며, 중심 A의 좌표(20/3, 20/3)나 반지름(4√5/3) 같은 지저분한 분수를 만질 일도 없습니다.
실수를 줄이는 전략
- 기울기가 m과 1/m인 두 직선을 보면 y=x 대칭부터 떠올리세요. 이 문제에서 그림 전체의 대칭성은 접점 좌표, PQ의 기울기, 중심의 위치까지 세 가지를 한꺼번에 줍니다.
- PQ=QR만 보고 두 구간이라 생각하면 안 됩니다. 대칭에 의해 PS까지 더해 세 구간이 같아지는 것이 핵심이고, 그래야 x좌표가 t, 2t, 3t로 등간격이 됩니다.
- 넓이비 1/3은 밑변의 비에서 나옵니다. 두 삼각형이 꼭짓점 O를 공유하고 밑변이 같은 직선 위에 있으므로 높이가 같다는 점을 근거로 삼으세요.
- t²=16에서 t=±4가 나오지만 그림에서 t>0입니다. 부호를 흘리면 모든 좌표가 3사분면으로 넘어가 답이 달라집니다.
- 마지막에 묻는 것은 BQ이지 AQ나 AB가 아닙니다. AQ는 반지름 4√5/3, AB는 그 나머지 구간이므로 값이 전혀 다릅니다. 구한 뒤 어느 선분인지 한 번 더 확인하세요.
- 접점에서의 수직 조건을 쓸 때 기준이 되는 직선을 헷갈리지 마세요. B가 l₁ 위의 점이지만 수직 조건은 l₂와 AQ 사이에서 성립합니다.
엄선된 풀이 영상
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