행복한 일등급문제
2022년 09월 고1 학력평가 28번
x축에 접하는 원
접선의 길이
현의 수직이등분
점과 직선 사이의 거리
출제의도
이 문항은 x축과 직선 y=mx에 동시에 접하는 원을 다루면서, 접선에 관한 세 가지 성질을 한 문제 안에서 차례로 꺼내 쓰게 만드는 문제입니다. 원이 x축에 접하면 중심의 y좌표가 반지름과 같다는 것, 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이가 같다는 것, 그리고 중심을 지나는 직선은 현을 수직이등분한다는 것입니다.
단답형 28번 자리에 놓인 이유는 두 단계가 직렬로 이어져 있기 때문입니다. 앞 단계에서 넓이 조건으로 원의 중심을 확정하지 못하면 뒤 단계의 접선 조건은 손도 댈 수 없습니다. 미지수를 a 하나로 줄여 놓고 삼차식 a³=64까지 밀고 가는 뚝심, 그리고 확정된 중심을 받아 거리 조건으로 m을 마무리하는 정확성을 함께 봅니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
원이 x축에 접한다는 조건부터 좌표로 옮기세요. 접점을 P(a, 0)이라 하면 중심은 접점 바로 위에 있고, 중심의 y좌표는 반지름의 길이와 같으므로 중심 A의 좌표는 A(a, 2)로 미지수 하나만 남습니다.
다음 연결고리는 원점 O입니다. O에서 이 원에 그은 두 접선의 접점이 P와 Q이므로 OP=OQ이고, 중심까지의 거리 OA도 공통입니다. 즉 직선 OA는 현 PQ의 수직이등분선입니다. 이 한 줄에서 직선 PQ의 기울기가 바로 나옵니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
직선 OA의 기울기가 2/a이므로 PQ의 기울기는 −a/2입니다. P(a, 0)을 지나는 직선의 방정식을 세운 뒤 x=0을 대입해 y절편, 즉 점 R의 좌표를 a로 표현하세요. 삼각형 ROP는 원점에서 직각인 삼각형이므로 넓이는 두 직각변 OP와 OR의 곱의 절반입니다. 이 값을 16으로 놓으면 a에 대한 삼차방정식이 나옵니다.
a가 정해져 중심 A가 확정되면 마지막은 한 줄입니다. 직선 y=mx가 원에 접한다는 것은 중심과 직선 사이의 거리가 반지름 2와 같다는 뜻이므로, mx−y=0으로 정리해 거리 공식을 세우고 양변을 제곱하세요. m>0 조건으로 두 근 중 하나를 골라내는 것까지가 마무리입니다.
정답 확인
정답 80 ( m = 4/3, 60m = 80 )
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A넓이 조건으로 원의 중심 좌표 구하기
접점을 P(a, 0)(a>0)이라 하면 원이 x축에 접하므로 중심은 A(a, 2)입니다. 원점 O와 A를 지나는 직선 l₁의 방정식은 y=(2/a)x입니다.
l₁은 원의 중심을 지나므로 현 PQ를 수직이등분하고, 따라서 PQ의 기울기는 −a/2입니다. P(a, 0)을 지나므로 PQ : y = −(a/2)(x−a)이고, x=0을 대입하면 R(0, a²/2)입니다.
직각삼각형 ROP의 넓이가 16이므로 ½ × OP × OR = ½ × a × (a²/2) = a³/4 = 16, 즉 a³=64이고 a>0이므로 a=4입니다. 따라서 중심은 A(4, 2)입니다.
STEP B접선 조건으로 m의 값 구하기
직선 y=mx를 mx−y=0으로 정리하면 중심 A(4, 2)에서의 거리는 d = |4m−2| / √(m²+1)입니다. 직선이 원에 접하므로 이 거리는 반지름 2와 같습니다.
거리식 세우기 — |4m−2| = 2√(m²+1)
양변 제곱 — 16m²−16m+4 = 4m²+4, 즉 12m²−16m=0에서 4m(3m−4)=0
근의 선택 — m=0 또는 m=4/3인데 문제 조건에서 m>0이므로 m=4/3
따라서 60m = 60 × 4/3 = 80입니다.
1등급 다른 풀이 · 닮음 / 판별식 / 접선 공식
① 삼각형의 닮음으로 중심 구하기. 직각삼각형 ROP의 넓이가 16이므로 ½ × a × RO = 16에서 RO = 32/a입니다. 한편 ∠ROP = ∠OPA = 90°이고 ∠PRO = ∠AOP = 90° − ∠RPO이므로 두 삼각형 ROP와 OPA는 AA닮음입니다. 닮음비가 RO : OP = OP : PA이므로 (32/a) : a = a : 2에서 a³=64, 곧 a=4가 나옵니다. R의 좌표를 직접 구하지 않고도 중심이 확정됩니다.
② 판별식으로 접선 조건 처리하기. 중심 A(4, 2), 반지름 2인 원은 (x−4)²+(y−2)²=4입니다. 여기에 y=mx를 대입하면 (m²+1)x² − 2(4+2m)x + 16 = 0이고, 접한다는 것은 이 이차방정식이 중근을 갖는다는 뜻이므로 D/4 = (4+2m)² − 16(m²+1) = 0입니다. 정리하면 −12m²+16m=0, 즉 4m(4−3m)=0으로 같은 결과를 얻습니다.
③ 접선 공식으로 처리하기. 중심 A(4, 2), 반지름 2인 원에 접하고 기울기가 m인 접선은 y−2 = m(x−4) ± 2√(m²+1)입니다. 이 직선이 y=mx와 일치해야 하므로 상수항끼리 비교하면 −4m+2±2√(m²+1)=0, 즉 ±2√(m²+1)=4m−2가 되고, 양변을 제곱하면 역시 4m(3m−4)=0에 도달합니다.
실수를 줄이는 전략
- x축에 접하는 원의 중심은 (a, r)입니다. 반지름이 2로 주어졌다면 중심의 y좌표는 고민할 것 없이 2입니다. 이 한 줄을 먼저 확보해야 미지수가 하나로 줄어듭니다.
- 직선 PQ의 기울기를 구할 때 원의 중심을 지나는 직선이 현을 수직이등분한다는 성질을 쓰세요. P와 Q의 좌표를 각각 구해서 기울기를 계산하려 들면 Q의 좌표에서 막힙니다.
- 점 R은 y절편이므로 x=0을 대입해서 얻습니다. y=0을 대입해 x절편을 구하는 실수가 잦은데, 그러면 P와 같은 점이 나와 넓이가 0이 됩니다.
- 거리 조건 |4m−2| = 2√(m²+1)에서 절댓값을 벗기지 말고 그대로 제곱하세요. 4m−2의 부호를 미리 정하려다 근을 하나 잃는 경우가 많습니다.
- m=0과 m=4/3 중 m>0 조건으로 반드시 걸러야 합니다. m=0은 직선 y=0, 즉 x축 자신이라 문제의 상황과 맞지 않습니다.
- 마지막으로 묻는 값은 m이 아니라 60m입니다. 4/3을 답으로 적고 끝내면 단답형에서 그대로 0점입니다.
엄선된 풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.