행복한 일등급문제
2020년 09월 고1 학력평가 18번
원과 직선의 교점
점과 직선 사이의 거리
원의 접선
빈칸 추론
출제의도
이 문항은 반지름이 1인 원과 원점을 지나는 직선 y=ax를 놓고, 두 삼각형의 넓이비가 2가 되도록 하는 a를 찾는 과정을 빈칸 추론 형식으로 제시한 문제입니다. 구해야 할 것은 답 하나가 아니라 풀이의 각 칸에 들어갈 식 f(a), g(a)와 상수 k이고, 마지막에 f(k)×g(k)를 계산합니다.
일등급 문제로 배치된 이유는 계산이 어려워서가 아니라, 문자를 끝까지 끌고 가는 체력을 묻기 때문입니다. 좌표를 구하는 순간부터 √(a²+1)이 분모에 들어앉고, 이후 직선의 방정식·x절편·점과 직선 사이의 거리까지 전부 이 꼴을 달고 다닙니다. 중간에 숫자로 바꿀 곳이 하나도 없으니, 식이 지저분해져도 흔들리지 않고 정리하는 태도가 그대로 점수가 됩니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 직선 y=ax가 원점을 지난다는 점에 주목하세요. 원 x²+y²=1의 중심이 원점이므로, 이 직선이 원과 만나 생기는 선분 AB는 곧 지름입니다. 즉 AB=2가 계산 없이 확정됩니다. 삼각형 DAB의 밑변이 이미 정해진 셈이니, 남은 것은 높이뿐입니다.
다음으로 점 A의 좌표를 a로 구하세요. y=ax를 x²+y²=1에 대입하면 (a²+1)x²=1이고, A의 x좌표가 양수라는 단서로 부호가 하나로 정해집니다. 여기까지 오면 이후의 모든 식이 √(a²+1) 하나로 굴러갑니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
점 A를 지나고 직선 y=ax에 수직인 직선 l의 기울기는 −1/a입니다. 점 A를 대입해 l의 방정식을 세우고, y=0을 넣어 점 C의 x좌표를 구하세요. 이때 l의 y절편으로 나오는 식이 빈칸 중 하나와 연결됩니다.
S₁은 삼각형 DAB의 넓이입니다. 밑변을 AB=2로 잡으면 높이는 점 D(0, −1)에서 직선 AB까지의 거리이므로, 직선을 ax−y=0 꼴로 정리한 뒤 거리 공식을 쓰세요. S₂는 삼각형 DCO의 넓이인데 O가 원점이고 D가 y축, C가 x축 위에 있으므로 두 변이 그대로 밑변과 높이가 됩니다. S₂/S₁=2를 정리하면 a²에 대한 아주 단순한 식이 나옵니다.
정답 확인
정답 ④ f(k)×g(k) = √33
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A원과 직선을 연립하여 점 A의 좌표 구하기
y=ax를 x²+y²=1에 대입하면 x²+a²x²=1, 즉 (a²+1)x²=1이므로 x²=1/(a²+1)입니다. 점 A의 x좌표가 양수이므로 x=1/√(a²+1)이고, 이를 y=ax에 넣으면 y=a/√(a²+1)입니다. 따라서 A는 x좌표 1/√(a²+1), y좌표 a/√(a²+1)인 점입니다.
STEP B직선 l의 방정식과 점 C 구하기
두 직선이 수직이면 기울기의 곱이 −1이므로 l의 기울기는 −1/a입니다. 점 A를 지나는 직선의 방정식을 정리하면
l : y = −(1/a)x + √(a²+1)a
이 됩니다. y=0을 대입하면 x=√(a²+1)이므로 C(√(a²+1), 0), 즉 OC=√(a²+1)입니다. 여기서 나온 y절편 √(a²+1)/a가 곧 g(a)입니다.
STEP C두 삼각형의 넓이 S₁, S₂ 비교
직선 AB는 ax−y=0이므로 점 D(0, −1)에서의 거리는 d=1/√(a²+1)입니다.
S₁ (삼각형 DAB) — 선분 AB는 원 x²+y²=1의 지름이므로 AB=2입니다. 따라서 S₁ = ½ × 2 × d = 1/√(a²+1), 이것이 f(a)입니다.
S₂ (삼각형 DCO) — 선분 OD는 반지름이므로 OD=1이고 OC=√(a²+1)이므로 S₂ = ½ × 1 × √(a²+1) = √(a²+1)/2입니다.
따라서 S₂/S₁ = (a²+1)/2 = 2에서 a²+1=4, a²=3이고 a가 양수이므로 a=√3, 즉 k=√3입니다.
STEP Df(k)×g(k)의 값 계산
f(a)=1/√(a²+1), g(a)=√(a²+1)/a, k=√3이므로 f(√3)=1/√4=1/2이고 g(√3)=√4/√3=2/√3입니다. 따라서 f(k)×g(k) = ½ × 2/√3 = 1/√3 = √3/3입니다.
1등급 다른 풀이 · 직선 l을 ‘접선’으로 읽기
이 문제에서 계산량을 절반으로 줄이는 관찰이 하나 있습니다. 점 A는 원 위의 점이고 OA는 반지름인데, 직선 l은 점 A를 지나면서 OA(즉 직선 y=ax)에 수직입니다. 반지름에 수직인, 원 위의 점을 지나는 직선은 곧 그 점에서의 접선이므로, l은 원 x²+y²=1의 A에서의 접선입니다.
원 x²+y²=1 위의 점 (x₁, y₁)에서의 접선은 x₁x+y₁y=1이므로, x절편은 1/x₁이고 y절편은 1/y₁입니다. 점 A의 x좌표가 1/√(a²+1)이므로 OC=√(a²+1)이 곧바로 나오고, y좌표가 a/√(a²+1)이므로 y절편은 √(a²+1)/a가 즉시 나옵니다. 수직 조건에서 기울기를 잡고 직선을 세워 x절편을 구하는 STEP B 전체가 한 줄로 압축됩니다.
한 가지 더, 점 D(0, −1)은 0²+(−1)²=1이므로 원 위의 점이고 AB는 지름입니다. 반원에 대한 원주각은 직각이므로 삼각형 DAB는 D에서 직각인 직각삼각형입니다. 넓이를 두 직각변의 곱으로 구하고 싶다면 이 성질을 써도 되고, 그림에서 D의 위치를 가늠할 때도 유용합니다.
실수를 줄이는 전략
- 직선이 원점을 지나면 잘린 현은 지름입니다. AB의 길이를 좌표로 일일이 계산하다 보면 √ 안이 복잡해져 시간이 새어 나갑니다. AB=2를 첫 줄에 적어두고 시작하세요.
- 점과 직선 사이의 거리 공식을 쓰기 전에 직선을 반드시 ax−y=0 꼴로 옮겨 적으세요. y=ax 상태로 계수를 대입하면 분모의 √(a²+1)이 √(a²+(−1)²)임을 놓치기 쉽습니다.
- 빈칸 추론은 어느 식이 f이고 어느 식이 g인지가 절반입니다. 이 문항에서 f(a)는 넓이 S₁, g(a)는 직선 l의 y절편입니다. 둘을 바꿔 넣으면 곱은 같아 보여도 다른 문항에서는 그대로 오답이 됩니다.
- a²=3에서 a=±√3이 나오지만 문제 조건상 a는 양수입니다. 부호를 흘리면 g(k)의 부호가 뒤집혀 정답 후보 중 −√3/3 쪽으로 빠집니다.
- 마지막 답은 반드시 유리화하세요. 1/√3 그대로 두면 선택지에서 √3/3을 찾지 못하고 헤매게 됩니다.
엄선된 풀이 영상
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