행복한 일등급문제
2019년 03월 고2 학력평가 나형 29번
두 원의 공통접선
삼각형의 닮음
점과 직선 사이의 거리
근과 계수의 관계
출제의도
두 원에 동시에 접하는 두 직선이 한 점 P에서 만나는 상황에서 미지수 a, b, c를 차례로 결정하는 문항입니다. 겉보기에는 공통접선 문제이지만, 앞부분 a와 b는 접선의 방정식을 세우지 않고 닮음만으로 끝납니다. 접점까지의 수선을 그으면 반지름이 곧 닮음비가 되기 때문입니다.
뒷부분 c는 계산 문제로 보이지만 여기에도 함정이 하나 있습니다. 문제가 요구하는 것은 두 접선의 기울기 각각이 아니라 기울기의 곱입니다. 근과 계수의 관계를 떠올리면 이차방정식을 풀지 않고 곱만 읽어낼 수 있고, 그렇지 못하면 무리방정식을 두 번 정리하는 긴 길로 들어섭니다. 도형을 읽는 눈과 대수적 지름길을 함께 묻는 구성입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 두 원을 표준형으로 읽어 중심과 반지름을 확정하세요. C₁은 중심 A(−7, 2)에 반지름 2√5, C₂는 중심 B(0, b)에 반지름 √5입니다. 반지름의 비가 2 : 1이라는 사실이 이 문제의 전부라고 해도 좋습니다.
이제 접선 l₁ 위의 점 P에서 두 중심 A, B로 각각 수선을 내려 보세요. 두 수선의 길이는 각각 반지름 2√5, √5이고 두 직각삼각형은 ∠P를 공유합니다. 여기서 무엇이 보이는지 스스로 확인해 보세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
△PAH ∽ △PBI(AA닮음)이고 닮음비가 2 : 1이므로 PA : PB = 2 : 1, 즉 B는 선분 AP의 중점입니다. P(a, 0), A(−7, 2)를 중점공식에 넣어 B(0, b)와 좌표를 비교하면 a와 b가 동시에 결정됩니다.
c는 접선의 기울기를 m으로 두는 것부터 시작합니다. 접선이 P를 지나므로 y = m(x − 7), 즉 mx − y − 7m = 0 한 문자로 정리됩니다. 여기에 원의 중심과 직선 사이의 거리 = 반지름을 적용하면 m에 대한 이차방정식이 나오고, 두 접선의 기울기가 그 두 근이므로 곱은 근과 계수의 관계로 바로 읽으면 됩니다. 계산이 가벼운 C₂ 쪽을 쓰는 것이 유리합니다.
정답 확인
정답 11(a+b+c) = 87
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 삼각형의 닮음으로 a, b 구하기
C₁ : (x+7)²+(y−2)²=20은 중심 A(−7, 2), 반지름 2√5이고, C₂ : x²+(y−b)²=5는 중심 B(0, b), 반지름 √5입니다. 두 중심에서 직선 l₁에 내린 수선의 발을 각각 H, I라 하면 AH=2√5, BI=√5입니다.
△PAH와 △PBI에서 ∠P가 공통이고 ∠PHA=∠PIB=90°이므로 두 삼각형은 AA닮음이며, 닮음비는 AH : BI = 2 : 1입니다. 따라서 PA : PB = 2 : 1이 되어 점 B는 선분 AP의 중점입니다. P(a, 0)이므로 중점의 좌표는 ( (a−7)/2 , 1 )이고, 이것이 B(0, b)와 같아야 하므로 a = 7, b = 1입니다.
STEP B거리 조건으로 두 접선의 기울기의 곱 c 구하기
P(7, 0)을 지나는 접선의 기울기를 m이라 하면 y = m(x−7), 즉 mx − y − 7m = 0입니다. 원 C₂ : x²+(y−1)²=5의 중심 B(0, 1)에서 이 직선까지의 거리 d는
d = |m·0 − 1 − 7m| / √(m²+1) = |−7m−1| / √(m²+1)
이고, 직선이 원에 접하므로 d = √5입니다. 양변을 제곱하면 49m²+14m+1 = 5(m²+1), 정리하면 22m²+7m−2 = 0, 인수분해하면 (2m+1)(11m−2)=0이므로 m = −1/2 또는 m = 2/11입니다.
두 직선 l₁, l₂의 기울기가 이 두 값이므로 c = (−1/2) × (2/11) = −1/11입니다. 이차방정식 22m²+7m−2=0의 두 근의 곱이 −2/22 = −1/11이라는 점을 이용하면 근을 구하지 않고도 곧바로 얻을 수 있습니다.
STEP C11(a+b+c)의 값 계산
a = 7, b = 1, c = −1/11이므로 11(a+b+c) = 11(7 + 1 − 1/11) = 88 − 1 = 87입니다.
1등급 다른 풀이 · 접점을 미지수로 두기
거리 공식 대신 접점의 좌표를 미지수로 두는 방법도 있습니다. 접점을 I(x₁, y₁)이라 하면 원 C₂ : x²+(y−1)²=5 위의 점이므로 x₁²+(y₁−1)²=5이고, 그 점에서의 접선은 x₁x+(y₁−1)(y−1)=5입니다.
이 접선이 P(7, 0)을 지나므로 7x₁ − (y₁−1) = 5, 즉 y₁−1 = 7x₁−5를 얻습니다. 이것을 원의 식에 대입하면 5x₁²−7x₁+2=0, (5x₁−2)(x₁−1)=0이므로 x₁ = 2/5 또는 x₁ = 1이고, 접점은 각각 (2/5, −6/5)와 (1, 3)입니다. P와 각 접점을 잇는 직선의 기울기는 2/11과 −1/2이므로 곱은 −1/11로 같습니다.
또 하나의 길은 반지름이 √5인 원에 접하고 기울기가 m인 접선의 공식 y−1 = mx ± √5·√(m²+1)을 쓰는 방법입니다. 이것을 y = mx−7m과 비교하면 ±√(5m²+5) = −7m−1이 되고, 제곱하면 위와 같은 22m²+7m−2=0에 도달합니다. 어느 길을 택하든 결국 같은 이차방정식으로 모인다는 점을 확인해 두면 시험장에서 가장 짧은 길을 고를 수 있습니다.
내신 연계 출제문항 266
같은 아이디어가 내신에서는 이렇게 나옵니다. 직선 y = ax + b가 두 원 x²+y²=9, (x+3)²+y²=4에 동시에 접할 때 32ab의 값을 구하는 문제입니다.
풀이 흐름 — 두 원의 중심 O(0, 0)과 C(−3, 0), 반지름 3과 2이므로 접선이 x축과 만나는 점을 A라 하면 삼각형의 닮음비가 2 : 3입니다. 이로부터 A(−9, 0)을 얻고, 직선이 A를 지나므로 −9a+b=0, 즉 b=9a입니다.
이제 원점과 직선 ax−y+b=0 사이의 거리가 3이므로 |b| = 3√(a²+1)이고, b=9a를 대입하면 81a² = 9(a²+1), 즉 a² = 1/8입니다. 따라서 32ab = 32×9a² = 288 × 1/8 = 36입니다.
본문항과 마찬가지로 반지름의 비 = 닮음비로 한 점을 먼저 잡고, 나머지를 거리 조건으로 마무리하는 2단 구조입니다. 두 문제를 나란히 풀어 두면 공통접선 유형의 뼈대가 잡힙니다.
실수를 줄이는 전략
- 접선을 y = mx + n으로 두면 미지수가 둘이 됩니다. P를 지난다는 조건을 먼저 대입해 y = m(x−7) 한 문자로 줄이고 시작하세요. 이 한 줄이 계산량을 절반으로 줄입니다.
- 거리 조건은 두 원 중 계산이 가벼운 쪽 하나만 쓰면 충분합니다. 두 직선 모두 두 원에 접하므로 C₁으로 세워도 같은 두 근이 나옵니다. 두 번 세우는 것은 검산용으로만 쓰세요.
- 기울기가 존재하지 않는 접선(x = 7)이 있는지 점검하는 습관을 들이세요. 이 문항에서는 점 P와 두 중심의 위치상 수직 접선이 생기지 않아 y = m(x−7)로 두어도 빠지는 경우가 없습니다.
- 닮음비를 좌표로 옮길 때 B가 선분 AP 위에 있다는 위치 관계를 그림에서 반드시 확인하세요. PA : PB = 2 : 1을 외분으로 잘못 읽으면 a와 b가 통째로 바뀝니다.
- 문제가 묻는 것이 기울기의 곱이라면 근을 구하지 말고 근과 계수의 관계로 끝내세요. 두 근이 −1/2과 2/11처럼 지저분할수록 이 지름길의 이득이 큽니다.
- 마지막에 11을 곱하는 형태는 c의 분모가 11이라는 힌트입니다. 계산 결과의 분모가 11이 아니면 STEP B를 다시 점검하라는 신호로 읽으세요.