행복한 일등급문제
2023년 09월 고1 학력평가 29번
삼각형의 무게중심
현의 수직이등분
수직 조건
점과 직선 사이의 거리
출제의도
세 꼭짓점 중 A만 주어지고 B, C는 좌표조차 모르는 상태에서 삼각형 ABC의 넓이를 구하는 문항입니다. 무게중심 G와 외접원의 중심(원점)이라는 두 정보만으로 B, C를 직접 구하지 않고 밑변과 높이를 얻는 것이 핵심 설계입니다.
연결고리는 두 개뿐입니다. 하나는 무게중심이 중선을 2 : 1로 내분한다는 성질로, 이것이 변 BC의 중점 M을 확정해 줍니다. 다른 하나는 원의 중심에서 현에 내린 수선이 그 현을 수직이등분한다는 성질로, 이것이 직선 BC의 방향을 확정해 줍니다. 성질 두 개가 각각 ‘한 점’과 ‘한 방향’을 제공하니 직선 BC가 완전히 결정되고, 나머지는 피타고라스와 거리 공식의 몫입니다. 도형 성질을 좌표로 번역하는 능력을 정면으로 묻는 문제입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
B와 C를 각각 구하려 하지 마세요. 넓이를 구하는 데 필요한 것은 선분 BC의 길이와 A에서 BC까지의 거리 두 개뿐입니다.
먼저 변 BC의 중점을 M이라 두세요. 무게중심 G는 중선 AM을 A쪽에서부터 2 : 1로 내분하는 점입니다. A와 G가 모두 주어져 있으니 M의 좌표는 곧바로 나옵니다. 그리고 원의 중심이 원점이라는 조건에서 반지름은 OA로 계산됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
M이 현 BC의 중점이므로 OM ⊥ BC입니다. 따라서 직선 BC는 점 M을 지나고 직선 OM에 수직인 직선으로 결정됩니다. 두 직선이 수직이면 기울기의 곱이 −1이라는 조건을 쓰세요.
밑변 BC는 직각삼각형 OMB에서 피타고라스 정리로 얻습니다. OB는 반지름, OM은 계산 가능하므로 BM이 나오고 BC = 2·BM입니다. 높이는 점 A와 직선 BC 사이의 거리 공식으로 구하면 됩니다. 마지막에 √21과 √5가 만나 √105가 되는 구조를 미리 예상해 두면 답의 꼴을 확인하기 쉽습니다.
정답 확인
정답 p + q = 17 (넓이 = 12√105 / 5)
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A무게중심의 성질로 중점 M의 좌표 구하기
변 BC의 중점을 M(a, b)라 하면 무게중심 G(−1, 1)은 선분 AM을 2 : 1로 내분하는 점입니다. A(−5, −1)이므로 내분점 공식에서
(2a + 1·(−5)) / 3 = −1, (2b + 1·(−1)) / 3 = 1
이 되고, 각각 2a − 5 = −3, 2b − 1 = 3이므로 M(1, 2)입니다.
두 점 O(0, 0), M(1, 2)를 지나는 직선을 l₁이라 하면 기울기가 2이므로 l₁ : y = 2x입니다. 이에 수직인 직선 l₂의 기울기는 −1/2이고, M(1, 2)를 지나므로 l₂ : y = −(1/2)(x−1) + 2, 즉 x + 2y − 5 = 0입니다.
STEP B현의 수직이등분을 이용해 밑변 BC 구하기
중심이 원점이고 세 점 A, B, C를 지나는 원을 C라 하면 반지름은 OA = √((−5)²+(−1)²) = √26이므로 C : x²+y² = 26입니다.
원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 수직이등분하므로, M이 BC의 중점이라는 사실은 곧 OM ⊥ BC를 뜻합니다. 즉 두 점 B, C는 M을 지나는 직선 l₂와 원 C의 교점입니다.
OB = √26, OM = √(1²+2²) = √5이므로 직각삼각형 OMB에서 BM² = OB² − OM² = 26 − 5 = 21, 즉 BM = √21입니다. 따라서 BC = 2·BM = 2√21입니다.
STEP C높이를 구해 넓이 계산하기
점 A(−5, −1)과 직선 l₂ : x + 2y − 5 = 0 사이의 거리를 h라 하면
h = |−5 + 2·(−1) − 5| / √(1²+2²) = 12/√5 = 12√5 / 5
따라서 삼각형 ABC의 넓이는 (1/2) × BC × h = (1/2) × 2√21 × (12√5/5) = 12√105 / 5입니다.
넓이가 (q/p)√105 꼴이므로 p = 5, q = 12이고 p + q = 17입니다.
1등급 다른 풀이 · B, C를 직접 구해 확인하기
답의 √105가 어디서 나오는지 확인하고 싶다면 B, C의 좌표를 실제로 구해 보면 됩니다. x + 2y = 5에서 x = 5 − 2y를 원의 방정식에 대입하면 (5−2y)² + y² = 26, 정리하면 5y² − 20y − 1 = 0입니다.
근의 공식으로 y = 2 ± √105 / 5를 얻습니다. 두 근의 차가 2√105/5이므로 B, C의 y좌표 차가 그만큼이고, x좌표 차는 그 −2배입니다. 따라서 BC = √(1+4) × (2√105/5) = √5 × 2√105/5 = 2√21로 STEP B의 결과와 정확히 일치합니다.
이 방식은 계산이 무거워 실전용은 아니지만, √105는 B와 C의 좌표 자체에 들어 있던 값이며 수직이등분 성질을 쓴 풀이는 그 지저분한 근을 피해 간 것임을 보여 줍니다. 좌표를 구하는 길과 성질로 우회하는 길의 차이를 체감하기 좋은 비교입니다.
실수를 줄이는 전략
- 무게중심은 중선을 꼭짓점 쪽에서 2 : 1로 내분합니다. 비를 뒤집어 M을 잘못 잡으면 이후 모든 값이 틀립니다. G = (A + 2M)/3 형태로 외워 두면 방향 혼동이 줄어듭니다.
- 세 꼭짓점을 지나는 원의 중심은 외심입니다. 이 문제에서 원점이 외심이므로 반지름은 OA, OB, OC 중 계산 가능한 OA로 잡습니다. 무게중심 G와 혼동하지 마세요.
- ‘원의 중심에서 현에 내린 수선이 현을 수직이등분한다’는 성질은 역방향으로도 씁니다. M이 현의 중점이라는 사실에서 OM ⊥ BC를 끌어내는 것이 이 문제의 결정적 한 수입니다.
- 수직 조건은 기울기의 곱이 −1입니다. l₁의 기울기가 2이므로 l₂는 −1/2이며, 부호를 빠뜨려 2로 두면 BC가 OM과 겹쳐 버립니다.
- 거리 공식에 넣기 전에 직선을 반드시 ax+by+c=0 꼴로 정리하세요. y = −x/2 + 5/2를 그대로 대입하면 분모 처리에서 실수가 나옵니다.
- 마지막에 p와 q가 서로소인지, 답이 요구하는 꼴과 분자·분모 위치가 맞는지 확인하세요. 12√105/5에서 p=5, q=12를 뒤집어 쓰면 답이 달라집니다.