TOUGH
2011년 11월 고1 학력평가 17번
점과 직선 사이의 거리
삼각형의 넓이
개수 세기
출제의도
이 문항은 ‘넓이가 자연수’라는 조건을 높이가 자연수라는 조건으로 바꿔 읽을 수 있는지를 먼저 묻습니다. 밑변 AB의 길이가 2로 고정되어 있기 때문에 넓이 S와 높이 h가 정확히 같은 값이 되고, 문제는 ‘조건을 만족하는 h의 값’과 ‘그 h를 만드는 점 P의 개수’라는 두 층으로 분리됩니다.
진짜 함정은 뒤쪽입니다. h가 정해졌다고 해서 점 P가 하나인 것이 아닙니다. 직선 AB에서 거리가 h인 곳은 원의 양쪽에 생기고, 그 직선이 원과 두 점에서 만나느냐 한 점에서 만나느냐에 따라 개수가 달라집니다. h의 개수(7개)를 답으로 적으면 오답, 전부 2개씩이라고 세도 오답입니다. 경계에서 무슨 일이 일어나는지를 정확히 보는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
삼각형 ABP에서 A와 B는 고정되어 있습니다. 그러니 밑변을 AB로 잡으면 넓이를 좌우하는 것은 점 P와 직선 AB 사이의 거리 하나뿐입니다. 먼저 AB의 길이와 직선 AB의 방정식을 구해 두세요.
다음으로, P는 원 C 위를 움직이는 점입니다. 원 위의 점과 직선 사이의 거리가 가질 수 있는 값의 범위는 (중심까지의 거리)−(반지름)부터 (중심까지의 거리)+(반지름)까지입니다. 이 범위부터 확정하는 것이 출발점입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
AB=2이므로 넓이 S=12×2×h=h입니다. 즉 S가 자연수일 조건은 h가 자연수일 조건과 같습니다. 중심 (1, 10)에서 직선 AB까지의 거리는 5, 반지름은 3이므로 h가 움직이는 범위는 2≤h≤8이고, 자연수 h는 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8의 7개입니다.
이제 각 h마다 점 P가 몇 개인지 세세요. 직선 AB와 평행하면서 거리가 h인 직선을 그어 원과의 교점을 보는 것이 핵심입니다. h=2와 h=8은 원에 접하는 극단이고, 그 사이의 h는 사정이 다릅니다. 세 덩어리로 나누어 세면 정확합니다.
정답 확인
정답 ④ 12
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A높이 h의 범위 구하기
두 점 A(0, √3), B(1, 0)을 지나는 직선의 기울기는 −√3이므로 직선 AB는 √3x+y−√3=0입니다. 원 C의 중심 (1, 10)에서 이 직선까지의 거리는
|√3×1+10−√3| ÷ √((√3)²+1²) = 102 = 5
반지름이 3이므로 원 위의 점 P와 직선 AB 사이의 거리 h는 5−3≤h≤5+3, 즉 2≤h≤8입니다.
STEP B넓이가 자연수가 되는 h와 점 P의 개수
AB=√((1−0)²+(0−√3)²)=2이므로 S=12×2×h=h이고, S가 자연수이려면 h가 자연수여야 합니다. 직선 AB에서 거리가 h인 평행선을 l이라 하고 l과 원 C의 교점 개수를 세면 됩니다.
( i ) h=2 — 원에서 직선 AB와 가장 가까운 쪽의 접선입니다. l과 원이 한 점에서 만나므로 점 P는 1개
( ii ) h=3, 4, 5, 6, 7 — l이 원을 뚫고 지나가 서로 다른 두 점에서 만나므로 h 하나당 점 P는 2개, 모두 합쳐 5×2=10개
( iii ) h=8 — 원에서 직선 AB와 가장 먼 쪽의 접선입니다. 역시 한 점에서 만나므로 점 P는 1개
STEP C총 개수 합산
( i )~( iii )에 의하여 삼각형 ABP의 넓이가 자연수가 되도록 하는 점 P의 개수는 1+10+1=12입니다.
1등급 다른 풀이 · 원을 각도로 바꿔 세기
개수 세기가 헷갈린다면 원 위의 점을 각도로 표현해 삼각함수의 해의 개수 문제로 바꿀 수 있습니다. 중심 (1, 10), 반지름 3이므로 P(1+3cosθ, 10+3sinθ)로 두고 직선 AB와의 거리를 계산하면
h = |10+3(√3cosθ+sinθ)|2 = 5+3 sin(θ+60°)
가 됩니다. 여기서 h가 자연수라는 조건은 sin(θ+60°)=h−53를 만족하는 θ가 0°≤θ<360°에서 몇 개인지를 묻는 것과 같습니다.
사인값이 −1 또는 1인 h=2, h=8일 때는 해가 각각 1개, 사인값이 −1과 1 사이인 h=3, 4, 5, 6, 7일 때는 해가 각각 2개입니다. 이렇게 보면 ‘접할 때만 1개’라는 사실이 그림 없이도 자동으로 드러납니다. 원 위의 점을 각도로 두는 방식은 최대·최소와 개수를 동시에 묻는 문항에서 특히 강력합니다.
실수를 줄이는 전략
- 넓이 조건을 높이 조건으로 번역하는 것이 첫 관문입니다. AB=2라서 우연히 S=h가 된 것이지, 항상 넓이와 높이가 같은 것은 아닙니다. 밑변 길이를 반드시 먼저 계산하세요.
- h의 범위는 (중심까지의 거리)±(반지름)입니다. 최솟값 5−3=2만 구하고 최댓값을 빠뜨리면 h의 개수부터 어긋납니다.
- 경계값 h=2, h=8은 접점이라 P가 1개뿐입니다. 여기서 2개씩 세면 14가 되어 보기 ⑤ 13조차 지나쳐 버립니다. 부등호가 등호를 포함하는 구간에서는 항상 양 끝을 따로 처리하세요.
- h가 자연수인 값만 세야 합니다. 2≤h≤8이라고 해서 답이 7이라고 적으면 h의 개수를 P의 개수로 착각한 것입니다. 문제가 세라고 한 대상이 무엇인지 다시 확인하세요.
- 직선 AB의 방정식을 세울 때 √3이 섞여 분모 계산이 지저분해 보이지만, √((√3)²+1²)=2로 깔끔하게 정리됩니다. 루트가 나왔다고 겁먹고 근삿값으로 처리하면 거리 5라는 정수를 놓칩니다.
엄선된 풀이 영상
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