마플시너지 0482

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출제의도

이 문항은 성격이 다른 최대·최소가 두 번 연달아 나오는 구조입니다. 앞부분은 ‘점 (3, 4)를 지나는 직선 중 원점과의 거리가 최대인 것’을 찾는 문제이고, 뒷부분은 그렇게 정해진 직선 l에 대해 ‘원 위의 점과 직선 사이의 거리가 최소’가 되는 값을 찾는 문제입니다.

두 최적화는 서로 다른 원리로 작동합니다. 앞은 수선의 발이 정점과 일치할 때 거리가 최대가 된다는 성질이고, 뒤는 (중심까지의 거리)−(반지름)이라는 원의 성질입니다. 하나만 알고 나머지를 감으로 처리하면 계산은 다 맞아도 답이 어긋납니다. 문제를 두 덩어리로 끊어 읽는 습관을 묻는 문항입니다.

단계별 힌트

상세 해설

풀이 흐름 한눈에 정리

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

1등급 다른 풀이 · 접선으로 한 번에 읽기

STEP A를 기울기 계산 없이 끝내는 방법이 있습니다. 원점과 l 사이의 거리는 아무리 커도 O와 (3, 4) 사이의 거리 5를 넘지 못하고, 거리가 정확히 5가 되려면 원점을 중심으로 하는 반지름 5인 원 x²+y²=25가 직선 l과 점 (3, 4)에서 접해야 합니다.

즉 l은 원 x²+y²=25 위의 점 (3, 4)에서의 접선입니다. 접선 공식 x₁x+y₁y=r²에 그대로 대입하면 3x+4y=25가 곧바로 나옵니다. 기울기를 구하고 점을 대입하는 과정을 한 줄로 압축할 수 있습니다.

뒷부분도 같은 시선으로 보면, 구하는 m은 ‘직선 l을 원 쪽으로 평행이동시켜 원에 접하게 만들 때 움직인 거리’입니다. 중심까지의 거리에서 반지름을 빼는 계산이 왜 최솟값인지가 그림 한 장으로 설명됩니다.

실수를 줄이는 전략

• ‘거리가 최대인 직선’을 구하라는 말에 곧바로 y−4=k(x−3)로 두고 거리 함수를 최대화하려 들면 계산이 길어집니다. 수선의 발이 정점과 겹칠 때라는 기하적 판단을 먼저 하세요.
• 수직 조건에서 기울기의 부호를 잘 챙기세요. 43의 수직 기울기는 −34입니다. 역수만 취하고 음수 부호를 빠뜨리면 그 뒤 계산이 전부 어긋납니다.
• (중심까지의 거리)−(반지름)은 원과 직선이 만나지 않을 때만 최솟값입니다. 만약 거리가 반지름보다 작았다면 원이 직선을 뚫고 지나가므로 최솟값은 0입니다. 3.2>1임을 한 번 확인하고 넘어가세요.
• 점과 직선 사이의 거리 공식에서 분자의 절댓값을 빠뜨리지 마세요. 대입값이 음수가 나오는 배치에서 부호를 그대로 두면 거리가 음수가 되어 버립니다.
• 답을 115로 적고 마무리하지 않도록 주의하세요. 문제가 묻는 값은 10m이며, 이런 단답형은 마지막 곱셈 한 번을 빠뜨려 틀리는 경우가 가장 많습니다.

엄선된 풀이 영상

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