TOUGH
2020년 09월 고1 학력평가 27번
수선의 발
점과 직선 사이의 거리
최대·최소
출제의도
이 문항은 2차원 문제를 1차원으로 접어 내리는 발상을 묻습니다. 점 P는 원 C₁ 위를, 점 Q는 원 C₂ 위를 자유롭게 움직이지만, 우리가 보는 것은 그 점들이 아니라 직선 l 위에 내린 수선의 발 H₁, H₂입니다. 즉 두 원이 직선 l 위에 남기는 그림자만 따지면 됩니다.
이 관점을 잡으면 H₁은 중심의 수선의 발 R을 기준으로 좌우 r₁만큼, H₂는 S를 기준으로 좌우 r₂만큼 움직이는 선분 위의 점이 됩니다. 문제는 ‘직선 위 두 구간에서 각각 한 점씩 뽑을 때 거리의 최대·최소’라는 아주 단순한 형태로 바뀝니다. P와 Q를 좌표로 놓고 두 변수 최적화를 시도하면 고1 범위에서 감당하기 어려워지는 반면, 그림자로 보면 몇 줄로 끝납니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
P가 원 C₁ 위를 한 바퀴 돌 때, 그 수선의 발 H₁은 직선 l 위에서 어디까지 갈 수 있을까요? 중심 O₁의 수선의 발을 R이라 하면, H₁은 R을 한가운데 두고 양쪽으로 반지름 r₁만큼까지 움직입니다. 즉 H₁은 R을 중심으로 하는 길이 2r₁인 선분 위의 점입니다.
그러니 먼저 두 중심에서 l에 내린 수선의 발 R, S의 좌표를 구하고, RS의 길이를 계산해 두세요. 그다음 H₁과 H₂가 R, S를 기준으로 얼마나 벌어질 수 있는지만 따지면 됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
수선의 발은 ‘중심을 지나고 l에 수직인 직선’과 l의 교점으로 구합니다. l의 기울기가 1이므로 수직인 직선의 기울기는 −1입니다. 이렇게 R과 S를 구한 뒤 RS를 계산하세요.
이제 H₁H₂가 최대가 되는 배치는 두 점이 서로 바깥쪽으로 최대한 벌어졌을 때이므로 RS에 r₁과 r₂를 더한 값이고, 최소는 두 점이 서로 안쪽으로 최대한 다가섰을 때이므로 RS에서 r₁+r₂를 뺀 값입니다. 마지막 곱셈은 전개하지 말고 합차공식을 쓰면 한 줄에 끝납니다.
정답 확인
정답 Mm = 23
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 중심의 수선의 발 R, S 구하기
C₁의 중심은 O₁(−6, 0), r₁=2이고 C₂의 중심은 O₂(5, −3), r₂=1입니다. l : y=x−2와 수직인 직선의 기울기는 −1이므로
R — O₁을 지나는 y=−x−6과 l을 연립하면 x=−2, y=−4이므로 R(−2, −4)
S — O₂를 지나는 y=−x+2와 l을 연립하면 x=2, y=0이므로 S(2, 0)
따라서 RS=√((2+2)²+(0+4)²)=4√2입니다.
STEP BH₁H₂의 최댓값 M과 최솟값 m
P가 C₁ 위를 돌 때 H₁은 R에서 최대 r₁=2만큼 떨어질 수 있고, Q가 C₂ 위를 돌 때 H₂는 S에서 최대 r₂=1만큼 떨어질 수 있습니다. 4√2≈5.66이 r₁+r₂=3보다 크므로 두 그림자 구간은 서로 겹치지 않습니다.
( i ) 최대인 경우 — H₁이 R의 바깥쪽, H₂가 S의 바깥쪽으로 갈 때이므로 M=2+4√2+1=4√2+3
( ii ) 최소인 경우 — H₁과 H₂가 서로 마주 보고 안쪽으로 다가설 때이므로 m=4√2−2−1=4√2−3
STEP CMm의 값 구하기
합차공식 (a+b)(a−b)=a²−b²를 쓰면
Mm = (4√2+3)(4√2−3) = (4√2)²−3² = 32−9 = 23
1등급 다른 풀이 · 직선 위의 좌표 하나로 압축하기
R, S를 각각 연립방정식으로 구하는 대신, 직선 l 위의 위치를 한 개의 수로 나타내면 계산이 훨씬 짧아집니다. l의 방향은 (1, 1)이므로 이 방향의 단위 방향에 대한 좌표를 잡으면, 점 (a, b)의 그림자 위치는 a+b√2가 됩니다.
이 값을 두 중심에 대해 계산하면 O₁(−6, 0)은 −6√2=−3√2, O₂(5, −3)은 2√2=√2입니다. 두 값의 차가 √2−(−3√2)=4√2이므로 RS=4√2가 수선의 발 좌표를 구하지 않고도 바로 나옵니다.
그림자 위에서 H₁은 −3√2를 중심으로 ±2, H₂는 √2를 중심으로 ±1의 구간을 훑으므로 두 점 사이의 거리는 4√2−3 이상 4√2+3 이하입니다. 결국 이 문제는 수직선 위에 놓인 두 구간의 거리 문제였다는 것이 한눈에 보입니다.
실수를 줄이는 전략
- P, Q를 원 위의 좌표로 직접 잡고 H₁H₂를 식으로 만들려 하지 마세요. 변수가 둘이라 고1 도구로는 정리되지 않습니다. 수선의 발만 남기고 원을 선분으로 눌러버리는 것이 이 문항의 정해입니다.
- H₁이 R에서 벌어지는 최대 폭은 지름 4가 아니라 반지름 2입니다. 그림자 구간의 전체 길이가 2r이고 중심에서의 편차가 r이라는 점을 혼동하면 M, m이 모두 어긋납니다.
- 최솟값을 구할 때 RS−(r₁+r₂)가 음수가 되지 않는지 반드시 확인하세요. 만약 두 그림자 구간이 겹쳤다면 최솟값은 0이 됩니다. 여기서는 4√2≈5.66>3이라 안전합니다.
- 수선의 발을 구할 때 수직 조건의 기울기는 −1입니다. l의 기울기 1을 그대로 쓰면 중심을 지나는 평행선이 되어 교점 자체가 생기지 않습니다.
- 마지막 곱셈에서 (4√2+3)(4√2−3)을 하나하나 전개하면 √2 항이 남는 실수가 잦습니다. 합차공식으로 처리하면 (4√2)²=32라는 계산 한 번으로 끝납니다.
엄선된 풀이 영상
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