행복한 일등급문제
최다빈출 · 왕중요
Ⅰ-03 원의 방정식 · STEP3 일등급문제
내접원
내분점
중심과 직선 사이의 거리
현의 길이
출제의도
도형만 주어지고 좌표는 하나도 주어지지 않은 문항입니다. 정사각형과 내접원, 그리고 그 위를 지나는 한 직선이 만드는 현 QR의 길이를 묻고 있는데, 이 문제의 첫 관문은 계산이 아니라 좌표평면을 스스로 놓는 일입니다. 어디를 원점으로 잡느냐에 따라 이후 계산량이 완전히 달라집니다.
두 번째 관문은 현의 길이를 다루는 표준 도구입니다. 원과 직선의 교점을 일일이 구해서 두 점 사이의 거리를 계산하려 들면 무리식이 뒤엉키지만, 중심에서 현에 내린 수선은 현을 수직이등분한다는 성질 하나만 쓰면 피타고라스 정리 한 번으로 끝납니다. 최다빈출·왕중요 표시가 붙은 이유가 바로 이 도구의 사용 빈도 때문입니다. 원과 직선이 만나는 상황이 나오면 거의 예외 없이 ‘중심 → 직선까지의 거리’부터 재는 습관을 만드는 것이 이 문항의 목표입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
좌표를 도입하세요. 점 A를 원점으로 두고 직선 AB를 x축, 직선 AD를 y축으로 잡는 것이 가장 깔끔합니다. 한 변의 길이가 10이므로 내접원의 중심은 정사각형의 한가운데, 반지름은 한 변의 절반입니다.
다음은 점 P입니다. 선분 BC를 1 : 2로 내분한다는 것은 B에서 시작해 전체의 13만큼 올라간 지점이라는 뜻입니다. P의 좌표가 정해지면 원점을 지나는 직선 AP의 기울기가 바로 나옵니다.
마지막으로 방향을 정하세요. 구하는 것은 현 QR의 길이입니다. 교점 Q, R의 좌표를 각각 구하는 길과, 중심에서 직선까지의 거리를 재는 길 중 어느 쪽이 짧을지 먼저 판단해 보세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
원의 방정식은 (x−5)²+(y−5)²=25, 직선 AP는 원점을 지나고 기울기가 13이므로 y=13x, 일반형으로 x−3y=0입니다.
이제 중심 (5, 5)에서 직선 x−3y=0까지의 거리 d를 점과 직선 사이의 거리 공식으로 구하세요. 그 수선의 발을 H라 하면 삼각형 OHQ는 직각삼각형이고, 빗변 OQ는 반지름 5입니다. 피타고라스 정리로 QH를 구한 뒤, 수선이 현을 이등분한다는 사실에서 QR = 2·QH임을 이용하면 끝납니다.
즉 필요한 것은 딱 세 줄입니다. ① d 구하기 ② QH=√(r²−d²) ③ QR=2QH.
정답 확인
정답 QR = 2√15
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A좌표평면을 놓고 원과 직선 AP의 방정식 구하기
직선 AB를 x축, 직선 AD를 y축으로 하면 A(0, 0), B(10, 0), C(10, 10), D(0, 10)입니다. 내접원의 중심은 (5, 5), 반지름은 5이므로 원의 방정식은 (x−5)²+(y−5)²=25입니다.
점 P는 선분 BC를 1 : 2로 내분하므로 BP=103, 즉 P(10, 103)입니다. 직선 AP는 원점을 지나고 기울기가 13이므로 y=13x, 정리하면 x−3y=0입니다.
STEP B원의 중심에서 직선 AP까지의 거리 구하기
중심 O(5, 5)에서 직선 x−3y=0에 내린 수선의 발을 H라 하면
OH = |5−15| ÷ √(1²+(−3)²) = 10√10 = √10
반지름 5보다 작으므로 직선이 원을 실제로 두 점에서 자른다는 것도 함께 확인됩니다.
STEP C피타고라스 정리로 QR의 길이 구하기
중심에서 현에 내린 수선은 현을 수직이등분하므로 H는 QR의 중점입니다. 직각삼각형 OHQ에서
QH = √(OQ²−OH²) = √(5²−(√10)²) = √15
따라서 QR = 2·QH = 2√15입니다.
1등급 다른 풀이 · 근과 계수의 관계로 밀어붙이기
중심에서의 거리를 쓰지 않고, 원과 직선을 그대로 연립해도 답에 도달할 수 있습니다. 두 교점의 좌표를 각각 구하지 않고 두 근의 차만 뽑아내는 것이 요령입니다.
y=13x를 원의 방정식에 대입하면 (x−5)²+(x3−5)²=25이고, 정리하면 x²−12x+452=0을 얻습니다. 두 근을 x₁, x₂라 하면 근과 계수의 관계에서 x₁+x₂=12, x₁x₂=452이므로
(x₁−x₂)² = 12² − 4·452 = 144 − 90 = 54
기울기가 13인 직선 위의 두 점 사이의 거리는 x좌표 차이에 √(1+19)를 곱한 값이므로
QR = √54 × √103 = 3√6 × √103 = √60 = 2√15
계산량은 조금 더 많지만, 현의 길이를 묻는 문제가 원이 아닌 곡선(포물선 등)으로 바뀌면 이 방법만 남습니다. 두 가지를 모두 손에 익혀두면 좋습니다.
내신연계 출제문항 258
원 (x+1)²+(y−3)²=4와 직선 y=mx+2의 두 교점을 각각 A, B라 할 때, 선분 AB의 길이가 2√2가 되도록 하는 상수 m의 값을 구하시오.
풀이 방향 — 0497번과 완전히 같은 도구를 거꾸로 씁니다. 이번에는 현의 길이가 주어졌으므로, 먼저 현의 절반을 이용해 중심에서 직선까지의 거리를 역산합니다.
중심 C(−1, 3), 반지름 2이고 AH=BH=12AB=√2이므로, 직각삼각형 CAH에서 CH=√(2²−(√2)²)=√2입니다.
이제 이 √2를 점과 직선 사이의 거리 공식과 연결합니다. 직선을 mx−y+2=0으로 두면
|−m−3+2| ÷ √(m²+1) = √2 → |−m−1| = √2·√(m²+1)
양변을 제곱하면 m²+2m+1 = 2m²+2, 즉 m²−2m+1=0이므로 (m−1)²=0에서 m=1입니다. 중근이 나왔다는 것은 조건을 만족하는 직선이 단 하나뿐이라는 뜻이니, 계산이 맞았는지 의심하지 말고 그대로 확정하면 됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 좌표를 내가 놓는 문제입니다. 원의 중심을 원점으로 잡는 선택지도 있지만, 이 문항은 A를 원점으로 두어야 직선 AP가 원점을 지나 방정식이 y=13x로 가장 단순해집니다. 좌표를 놓기 전에 ‘어느 점이 원점일 때 식이 가장 짧아지는가’를 3초만 생각해 보세요.
- 내분 비율을 길이로 착각하지 마세요. 1 : 2 내분은 BP=103이지 BP=5도, BP=1도 아닙니다. BP_PC=1:2를 그림 옆에 직접 써 놓고 시작하는 것이 안전합니다.
- 점과 직선 사이의 거리 공식을 쓰려면 직선을 반드시 ax+by+c=0 꼴로 바꿔야 합니다. y=13x 그대로 대입해 분모에 √(1+(13)²)를 넣다가 틀리는 경우가 많습니다. x−3y=0으로 정리한 뒤 대입하세요.
- 마지막에 2배를 잊지 마세요. 피타고라스로 구한 √15는 현의 절반입니다. 이 문항의 오답 1순위가 √15이며, 문제에서 묻는 것은 QR이지 QH가 아닙니다.
- 구한 거리 d와 반지름 r을 비교하는 습관을 들이세요. d<r이면 두 점에서 만나고, d=r이면 접하며, d>r이면 만나지 않습니다. 여기서는 √10<5이므로 문제 상황과 일치합니다.
엄선된 풀이 영상
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