TOUGH
03. 원의 방정식
점과 직선 사이의 거리
정삼각형
닮음비와 넓이의 비
출제의도
앞 문항 0480과 설정이 거의 같습니다. 원 x²+y²=2 위의 점 A와 직선 위의 두 점 B, C로 정삼각형을 만드는 상황이고, 직선만 y=x−6에서 y=x−4로 바뀌었습니다. 그런데 묻는 것이 ‘값’이 아니라 ‘비’라는 점에서 난이도의 성격이 완전히 달라집니다.
비를 묻는 순간 넓이를 실제로 계산할 이유가 사라집니다. 두 정삼각형은 언제나 서로 닮음이고, 닮음비가 m : n이면 넓이의 비는 m² : n²이기 때문입니다. 높이의 비만 구하면 끝나는 문제인데도 넓이를 끝까지 계산하다 시간을 흘리는 학생이 많습니다. 계산 이전에 구조를 읽는 습관을 점검하는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
B, C가 직선 y=x−4 위에 있으므로 변 BC는 그 직선 위에 놓이고, 점 A에서 직선까지의 거리가 곧 정삼각형의 높이가 됩니다. 여기까지는 0480과 완전히 같습니다.
그다음이 갈림길입니다. 문제는 넓이의 비를 물었습니다. 넓이가 최소인 정삼각형과 최대인 정삼각형은 서로 어떤 관계일까요? 모든 정삼각형은 서로 닮은 도형이라는 사실을 떠올려 보세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
직선을 x−y−4=0으로 정리하고 중심 (0, 0)까지의 거리 d를 구하세요. 반지름 r=√2와 함께 높이의 최댓값 d+r, 최솟값 d−r을 얻습니다.
두 정삼각형의 닮음비는 곧 높이의 비이고, 넓이의 비는 그 제곱의 비입니다. 한 변의 길이도, (√3/4)a²도 계산할 필요가 없습니다. 문제가 ‘최솟값과 최댓값의 비’를 물었으니 작은 것을 앞에 두는 것만 잊지 마세요.
정답 확인
정답 ③ 1 : 9
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A정삼각형의 높이 = 점 A와 직선 사이의 거리
원 x²+y²=2 위를 움직이는 점 A와 직선 y=x−4 사이의 거리가 정삼각형 ABC의 높이입니다.
중심 (0, 0)에서 직선 x−y−4=0까지의 거리는 |−4|/√(1²+(−1)²)=4/√2=2√2이고, 원의 반지름은 √2입니다.
STEP B높이의 최솟값과 최댓값
( i ) 넓이가 최소일 때 — 높이가 최소, 즉 2√2−√2=√2 (해설의 정삼각형 A₁B₁C₁)
( ii ) 넓이가 최대일 때 — 높이가 최대, 즉 2√2+√2=3√2 (해설의 정삼각형 A₂B₂C₂)
두 극단이 되는 점 A는 중심을 지나 직선에 수직인 선과 원의 두 교점입니다. 가까운 쪽이 A₁, 먼 쪽이 A₂입니다.
STEP C닮음비 → 넓이의 비
두 정삼각형은 서로 닮은 도형이고 닮음비는 높이의 비 √2 : 3√2 = 1 : 3입니다.
닮음비가 m : n인 두 도형의 넓이의 비는 m² : n²이므로, 넓이의 비는 1² : 3² = 1 : 9입니다.
1등급 다른 풀이 · 굳이 넓이를 구한다면
닮음이 잘 보이지 않을 때를 대비해 정공법도 확인해 둡시다. 높이가 h인 정삼각형의 한 변은 a=2h/√3, 넓이는 (√3/4)a²=h²/√3입니다.
최소: h=√2이므로 넓이는 2/√3 = 2√33 / 최대: h=3√2이므로 넓이는 18/√3 = 6√3
비를 잡으면 (2√3/3) : 6√3 = 2 : 18 = 1 : 9로 같은 결론에 도달합니다. 다만 넓이가 h²에 비례한다는 사실만 알면 (√2)² : (3√2)² = 2 : 18 = 1 : 9로 한 줄에 끝난다는 점을 함께 기억하세요.
0480과 나란히 놓고 보면 출제 구조가 선명해집니다. d와 r을 구해 d±r을 만드는 앞부분은 완전히 동일하고, 뒤에서 차를 물으면 값 계산, 비를 물으면 제곱의 비로 갈라질 뿐입니다.
실수를 줄이는 전략
- 가장 흔한 오답은 1 : 3입니다. 닮음비를 그대로 넓이의 비로 답한 경우로, ①~⑤에 함정 선지가 준비되어 있습니다. 넓이는 반드시 제곱입니다.
- 문제는 ‘최솟값과 최댓값의 비’를 물었습니다. 순서를 뒤집어 9 : 1로 쓰면 오답입니다. 답을 적기 직전에 문장을 한 번 더 읽으세요.
- 2√2−√2를 √2가 아닌 2로 계산하는 실수가 잦습니다. 같은 무리수끼리의 뺄셈은 계수끼리만 빼면 됩니다.
- d=2√2와 r=√2를 비교해 d>r임을 확인하세요. 만약 원이 직선과 만나면 높이의 최솟값이 0이 되어 정삼각형이 만들어지지 않습니다.
- 0480(y=x−6)과 0481(y=x−4)은 직선만 다릅니다. 앞 문항의 d=3√2를 그대로 가져다 쓰지 않도록 중심까지의 거리를 매번 새로 계산하세요.
엄선된 풀이 영상
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