TOUGH
최다빈출 · 왕중요
점과 직선 사이의 거리
정삼각형의 높이와 넓이
최대·최소
출제의도
앞 문항(0479)이 ‘밑변 고정 + 높이 변화’였다면, 이 문항은 밑변조차 고정되어 있지 않습니다. B, C가 직선 위를 자유롭게 움직이기 때문입니다. 그런데 ‘정삼각형’이라는 한 마디가 이 자유도를 전부 묶어버립니다. 정삼각형은 높이 하나만 정해지면 모양이 완전히 결정되기 때문입니다.
따라서 핵심은 넓이를 높이 h만의 식으로 바꾸는 것입니다. 그러고 나면 남는 질문은 다시 ‘원 위의 점 A에서 직선까지의 거리는 얼마부터 얼마까지 변하는가’로 돌아옵니다. 조건을 변수 하나로 압축하는 능력을 묻는, 전형적인 왕중요 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
B와 C는 모두 직선 y=x−6 위에 있으므로 변 BC는 그 직선 위에 놓입니다. 그렇다면 점 A에서 직선 y=x−6까지의 거리는 삼각형 ABC에서 무엇에 해당할까요? 바로 BC를 밑변으로 볼 때의 높이입니다.
여기에 ‘정삼각형’을 얹으면 상황이 단순해집니다. 한 변의 길이가 a인 정삼각형의 높이는 (√3/2)a, 넓이는 (√3/4)a²입니다. 두 식에서 a를 지우고 넓이를 h로만 표현해 보세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
h=(√3/2)a에서 a=2h/√3이므로, 넓이는 (√3/4)×(2h/√3)²=h²/√3입니다. 넓이가 h의 증가함수이므로 높이가 최대일 때 넓이가 최대, 최소일 때 최소가 됩니다. 여기까지 오면 정삼각형 조건은 제 역할을 다 한 셈입니다.
남은 일은 직선을 x−y−6=0으로 정리하고 중심 (0, 0)까지의 거리 d와 반지름 r을 구해 h의 최댓값 d+r, 최솟값 d−r을 얻는 것뿐입니다. 마지막에 M−m을 구할 때는 두 넓이를 각각 계산해도 되지만, h²의 차만 먼저 계산하면 훨씬 빠릅니다.
정답 확인
정답 ④ M−m = 8√3
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A‘점 A와 직선 사이의 거리 = 정삼각형의 높이’로 번역
B, C가 직선 y=x−6 위의 점이므로 변 BC는 이 직선 위에 있습니다. 따라서 점 A에서 직선까지의 거리가 곧 정삼각형 ABC의 높이 h입니다.
한 변의 길이를 a라 하면 h=(√3/2)a, 넓이는 (√3/4)a²이므로 a=2h/√3을 대입해 넓이를 S=h²/√3=(√3/3)h²로 정리해 둡니다. 즉 높이가 최대일 때 넓이 최대, 최소일 때 넓이 최소입니다.
STEP B높이의 최댓값과 최솟값
원 x²+y²=2의 중심은 (0, 0), 반지름은 √2입니다. 중심에서 직선 x−y−6=0까지의 거리는 |−6|/√(1²+(−1)²)=6/√2=3√2입니다.
높이의 최댓값 — 3√2+√2=4√2
높이의 최솟값 — 3√2−√2=2√2
3√2>√2이므로 원과 직선은 만나지 않고, 최소 높이도 0보다 큽니다.
STEP CM−m의 값 계산
높이가 4√2일 때 한 변은 8√2/√3이므로 M=(√3/4)×(8√2/√3)²=(√3/4)×(128/3)=32√33
높이가 2√2일 때 한 변은 4√2/√3이므로 m=(√3/4)×(4√2/√3)²=(√3/4)×(32/3)=8√33
따라서 M−m=32√33−8√33=24√33=8√3입니다.
1등급 다른 풀이 · 닮음비로 3초 만에
넓이 공식을 S=h²/√3로 정리해 두면 분수 계산을 거의 하지 않아도 됩니다.
M−m = (h최대²−h최소²)/√3 = (32−8)/√3 = 24/√3 = 8√3
더 나아가 h최대=d+r, h최소=d−r이므로 h최대²−h최소²=4dr입니다. 즉 M−m = 4dr/√3이라는 공식이 되고, 여기에 d=3√2, r=√2를 넣으면 4×3√2×√2/√3=24/√3=8√3이 곧바로 나옵니다.
닮음으로 보는 관점도 있습니다. 두 정삼각형은 서로 닮음이고 높이의 비가 4√2 : 2√2 = 2 : 1이므로 넓이의 비는 4 : 1, 즉 M=4m입니다. 따라서 M−m=3m이고, m=8√3/3만 구하면 3m=8√3으로 끝납니다.
실수를 줄이는 전략
- ‘점 A에서 직선까지의 거리’를 정삼각형의 한 변으로 착각하지 마세요. 그것은 높이입니다. 여기서 어긋나면 이후 계산이 전부 무의미해집니다.
- 거리 공식을 쓰기 전에 y=x−6을 x−y−6=0으로 옮겨 적으세요. 분모는 √(1²+(−1)²)=√2입니다.
- a=2h/√3을 제곱할 때 분모의 3까지 함께 제곱해야 합니다. (8√2/√3)²=128/3이며, 여기서 √2도 제곱되어 2가 곱해진다는 점을 놓치지 마세요.
- 넓이 공식 (√3/4)a²의 √3/4를 √3/2(높이 공식)와 바꿔 쓰는 실수가 잦습니다. 두 식을 나란히 적어두고 확인하세요.
- 문제가 묻는 것은 M−m입니다. M+m이나 M/m을 구해 ①·②로 빠지지 않도록 마지막에 문제 문장을 다시 읽으세요.
엄선된 풀이 영상
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