TOUGH
최다빈출 · 왕중요
점과 직선 사이의 거리
원 위의 점과 직선
삼각형의 넓이 최대·최소
출제의도
두 점 B, C는 고정되어 있고 점 A만 원 위를 움직입니다. 즉 삼각형 ABC에서 밑변 BC의 길이는 상수이고, 변하는 것은 오직 높이뿐입니다. 넓이의 최대·최소 문제가 통째로 ‘원 위의 점에서 직선 BC까지의 거리의 최대·최소’ 문제로 바뀌는 구조입니다.
이 치환을 해내면 남는 것은 공식 한 줄입니다. 원 밖의 직선에 대해 원 위의 점까지의 거리는 (중심과 직선 사이의 거리)±(반지름) 사이를 움직이니까요. 최다빈출·왕중요로 붙은 이유는 계산이 어려워서가 아니라, 움직이는 것과 고정된 것을 분리하는 눈을 묻기 때문입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
삼각형의 세 꼭짓점 중 두 개(B, C)가 고정이라는 점에 주목하세요. 밑변을 BC로 잡으면 밑변의 길이는 처음부터 끝까지 그대로이고, 넓이를 좌우하는 것은 점 A의 높이 하나뿐입니다.
그러므로 먼저 직선 BC의 방정식과 선분 BC의 길이를 구해 두세요. 그다음 물어야 할 질문은 단 하나, ‘원 x²+y²=8 위의 점에서 직선 BC까지의 거리는 얼마부터 얼마까지 변하는가?’입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
원의 중심 O(0, 0)에서 직선 BC까지의 거리를 d, 반지름을 r이라 하면, 원 위의 점에서 직선까지의 거리는 최대 d+r, 최소 d−r입니다. 중심을 지나 직선에 수직인 선을 그어보면 왜 그런지 그림으로 바로 보입니다.
여기서는 d와 r을 각각 구한 뒤 d>r임을 확인하는 것이 중요합니다. 만약 d≤r이면 직선이 원과 만나 최소 거리가 0이 되고, 삼각형 자체가 만들어지지 않는 경우가 생기기 때문입니다. 마지막으로 넓이는 ½ × BC × (높이)에 두 값을 각각 넣으면 됩니다.
정답 확인
정답 48 M+m = 36+12 = 48
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A밑변 BC — 직선의 방정식과 길이
두 점 B(7, 1), C(1, 7)을 지나는 직선의 기울기는 (1−7)/(7−1)=−1이므로 y−1=−(x−7), 즉 x+y−8=0입니다.
또 BC=√{(7−1)²+(1−7)²}=√72=6√2로, 점 A가 어디에 있든 변하지 않는 값입니다.
STEP B원 위의 점에서 직선까지의 거리 범위
원의 중심 (0, 0)에서 직선 x+y−8=0까지의 거리는 |−8|/√(1²+1²)=8/√2=4√2이고, 원 x²+y²=8의 반지름은 2√2입니다.
최댓값 — (중심까지의 거리)+(반지름)=4√2+2√2=6√2
최솟값 — (중심까지의 거리)−(반지름)=4√2−2√2=2√2
4√2>2√2이므로 직선과 원은 만나지 않고, 최소 거리도 0보다 큽니다. 즉 모든 위치에서 삼각형이 실제로 만들어집니다.
STEP C넓이의 최댓값·최솟값과 M+m
삼각형 ABC의 높이는 곧 점 A와 직선 BC 사이의 거리이므로
M=½×6√2×6√2=36, m=½×6√2×2√2=12
따라서 M+m=36+12=48입니다.
1등급 다른 풀이 · 반지름이 소거되는 구조와 대칭
M과 m을 따로 구하지 않고도 답이 나옵니다. 밑변을 a=BC, 중심까지의 거리를 d, 반지름을 r이라 하면
M+m = ½a(d+r) + ½a(d−r) = a·d
즉 반지름이 통째로 소거되어 M+m=6√2×4√2=48이 곧바로 나옵니다. 합을 묻는 문제라면 이 구조를 알아두는 것이 훨씬 빠르고, 계산 실수도 끼어들 틈이 없습니다.
대칭을 이용하면 최대·최소가 되는 점 A의 위치도 눈으로 잡힙니다. B(7, 1)과 C(1, 7)은 직선 y=x에 대해 서로 대칭이고 원 x²+y²=8도 y=x에 대해 대칭이므로, 극단이 되는 A는 y=x 위에 놓입니다. 실제로 원과 y=x의 교점은 (2, 2)와 (−2, −2)이고, 직선 x+y−8=0까지의 거리를 재면 각각 2√2(최소), 6√2(최대)로 위의 결과와 정확히 일치합니다.
내신 연계 확인 문항
해설 하단에 함께 실린 출제문항 249도 같은 구조입니다. 원 (x−1)²+(y−2)²=4 위의 점 P와 두 점 A(1, 7), B(4, 3)에 대하여 삼각형 PAB의 넓이의 최댓값을 묻습니다.
연계 문항 풀이 확인
직선 AB는 y−3=((3−7)/(4−1))(x−4), 즉 4x+3y−25=0이고 AB=√{(4−1)²+(3−7)²}=5입니다.
중심 (1, 2)에서 이 직선까지의 거리는 |4+6−25|/√(4²+3²)=3이고 반지름이 2이므로 높이의 최댓값은 3+2=5입니다.
넓이의 최댓값 = ½×5×5 = 25/2 (정답 ④)
실수를 줄이는 전략
- 밑변은 고정된 두 점을 잇는 변으로 잡으세요. A를 밑변에 포함시키면 밑변과 높이가 동시에 변해 손을 댈 수 없게 됩니다.
- 거리 공식에 넣기 전에 직선을 반드시 ax+by+c=0 꼴로 정리하세요. y=−x+8 상태로 대입해 분모를 √(1²+8²)처럼 쓰는 실수가 가장 흔합니다.
- 원 x²+y²=8의 반지름은 8이 아니라 2√2입니다. 우변이 r²라는 점을 매번 확인하세요.
- d와 r의 크기를 비교해 두세요. d>r이면 이 문항처럼 최소 거리가 d−r이지만, d≤r이면 직선이 원을 지나 최솟값은 0이 되고 삼각형이 만들어지지 않는 위치가 생깁니다.
- 답이 48이라는 정수로 떨어지는 것은 √2끼리 곱해지기 때문입니다. 6√2×6√2=72처럼 루트가 사라지는 계산을 정확히 하고, ½을 빠뜨리지 않았는지 마지막에 한 번 더 확인하세요.
엄선된 풀이 영상
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