TOUGH
삼각형의 넓이 최대
점과 직선 사이의 거리
원과 직선
출제의도
이 문항은 넓이의 최댓값을 묻지만, 실제로 요구하는 것은 무엇이 고정되고 무엇이 변하는지 분리하는 시선입니다. 삼각형 PAB에서 A, B는 고정된 점이므로 밑변 AB의 길이는 상수이고, 변하는 것은 점 P가 만드는 높이뿐입니다. 이 분리가 되는 순간 “넓이 최대”는 “점 P와 직선 AB 사이의 거리 최대”로 완전히 바뀝니다.
여기에 원 위의 점과 직선 사이의 거리 최댓값이 d+r(중심까지의 거리 더하기 반지름)이라는 표준 결과를 얹으면 계산은 세 줄이면 끝납니다. A, B가 원 위의 점이라는 사실 때문에 원의 성질을 총동원해야 할 것 같은 인상을 주지만, 실제 필요한 도구는 밑변·높이 분리와 거리 공식 두 가지뿐입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
삼각형 PAB에서 변하지 않는 것부터 찾으세요. A(3, −2)와 B(7, 2)는 고정된 점이므로 선분 AB의 길이는 상수입니다. 먼저 AB의 길이와 직선 AB의 방정식을 구해 두세요.
그러면 넓이 = ½ × (밑변 AB) × (높이)에서 밑변이 상수이므로, 넓이가 최대가 되는 조건은 오직 점 P에서 직선 AB까지의 거리가 최대일 때입니다. 문제가 원 위의 점 P를 어디에 놓을지 고르는 문제로 바뀝니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
원의 중심 (3, 2)에서 직선 AB까지의 거리를 d, 반지름을 r=4라 하면, 원 위의 점에서 그 직선까지 거리의 최댓값은 d+r입니다. 중심에서 직선에 내린 수선을 원 밖까지 연장했을 때 만나는 점이 가장 먼 점이라는 그림을 떠올리면 자연스럽습니다.
따라서 넓이의 최댓값은 ½ × AB × (d+r)입니다. AB=4√2, d는 거리 공식으로 구하고 r=4를 대입해 정리하세요. 마지막으로 결과를 a+b√2 꼴로 맞춘 뒤 a, b를 읽어 내는 마무리가 남습니다.
정답 확인
정답 ③ a+b = 16 (넓이의 최댓값 8+8√2)
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A밑변 AB 고정하기
두 점 A(3, −2), B(7, 2)를 지나는 직선은 기울기가 (2−(−2))/(7−3)=1이므로 y+2=1·(x−3), 즉 x−y−5=0입니다. 또 AB=√((7−3)²+(2−(−2))²)=√(16+16)=4√2로 일정합니다.
STEP B높이의 최댓값 구하기
밑변이 일정하므로 삼각형 PAB의 넓이는 점 P와 직선 AB 사이의 거리가 최대일 때 최대가 됩니다.
중심까지의 거리 — 원 (x−3)²+(y−2)²=16의 중심 (3, 2)에서 직선 x−y−5=0까지의 거리는 |3−2−5|/√(1²+(−1)²)=4/√2=2√2
최대 높이 — 반지름이 4이므로 원 위의 점과 직선 AB 사이 거리의 최댓값은 2√2+4
STEP C넓이의 최댓값과 a+b
넓이의 최댓값은 ½ × 4√2 × (2√2+4)=2√2 × (2√2+4)=8+8√2입니다. 이를 a+b√2와 비교하면 a=8, b=8이므로 a+b=16입니다.
1등급 다른 풀이 · 접점과 수직이등분선으로 읽기
거리 공식을 쓰지 않고도 최대 위치를 특정할 수 있습니다. 넓이가 최대일 때 점 P는 직선 AB에 평행한 접선의 접점입니다. 접점에서는 반지름이 접선과 수직이므로, 그 접점은 중심에서 AB에 내린 수선을 반대 방향으로 연장한 지점이고 동시에 AB의 수직이등분선과 원의 교점이 됩니다.
반지름을 r=4, 중심을 C(3, 2), AB의 중점을 M(5, 0)이라 하면 CM=√((5−3)²+(0−2)²)=2√2입니다. AM은 AB의 절반이므로 2√2이고, 실제로 √(CA²−AM²)=√(4²−(2√2)²)=√(16−8)=2√2로 일치합니다.
따라서 최대 높이는 PM=PC+CM=4+2√2이고, 넓이의 최댓값은 ½ × 4√2 × (4+2√2)=8+8√2로 같습니다. 이 관점의 장점은 거리 공식 없이 원의 성질만으로 답이 나온다는 점이며, P의 위치를 그림에서 바로 짚을 수 있어 검산이 빠릅니다.
실수를 줄이는 전략
- 움직이는 점이 있는 넓이 문제는 고정된 변을 밑변으로 잡는 것이 첫 수순입니다. 밑변만 고정하면 넓이 최대 문제는 예외 없이 거리 최대 문제로 바뀝니다.
- 원 위의 점과 직선 사이 거리는 최대 d+r, 최소 |d−r|입니다. 단, 직선이 원과 만나면 최솟값은 0이 되므로 d와 r의 대소를 먼저 확인하는 습관을 들이세요.
- A, B가 원 위에 있다는 조건에 끌려 원의 성질을 과하게 동원할 필요는 없습니다. 이 문항에서 A, B가 원 위에 있다는 사실은 답에 직접 쓰이지 않습니다. 그림을 그려 확인하는 용도로만 쓰세요.
- 2√2 × (2√2+4)를 전개할 때 앞항을 4√2로 쓰는 실수가 많습니다. 2√2 × 2√2=4×2=8, 2√2 × 4=8√2로 유리수 항과 무리수 항을 분리해서 계산하세요.
- a+b√2 꼴로 맞춘 뒤 a+b를 묻는 문제는 a×b나 넓이 자체를 답으로 쓰는 실수가 잦습니다. 8+8√2를 구한 뒤 문제 문장을 한 번 더 읽고 16을 고르세요.
엄선된 풀이 영상
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