TOUGH
접선의 길이
점과 직선 사이의 거리
최솟값
출제의도
이 문항은 접선의 길이 PT를 직접 다루지 않는 것이 핵심입니다. 점 P가 직선 위를 움직이고, 그 P에서 원에 그은 접선의 접점이 T이므로 PT의 길이는 P가 움직일 때마다 바뀝니다. P를 매개변수로 잡아 접점 T까지 구하려 들면 계산이 급격히 불어납니다.
돌파구는 접선과 반지름이 수직이라는 성질입니다. 중심 C와 이어 직각삼각형 PTC를 만들면 PT²=PC²−r²이 되어, 변하는 양이 PT에서 PC 하나로 줄어듭니다. 그다음은 “직선 위의 점에서 한 점까지 거리의 최솟값”, 곧 점과 직선 사이의 거리 공식입니다. 조건을 다른 양으로 갈아타는 두 번의 환승이 이 문항의 전부입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 두 점 A(1, 0), B(−1, 2)를 지나는 직선의 방정식을 구해 두세요. 기울기를 계산해 y=−x+1, 즉 x+y−1=0으로 정리됩니다. 점 P는 이 직선 위를 움직입니다.
다음으로 원 (x−4)²+(y−3)²=4의 중심 C(4, 3)과 반지름 2를 표시하고, P, T, C를 연결해 보세요. 접선 PT와 반지름 CT가 이루는 각이 몇 도인지 확인하면 PT를 어떤 식으로 바꿔 쓸 수 있는지 보입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
직각삼각형 PTC에서 피타고라스 정리를 쓰면 PT=√(PC²−2²)입니다. 이 식에서 반지름 2는 상수이므로, PT가 최소가 되려면 PC가 최소여야 합니다. 문제를 “직선 x+y−1=0 위의 점 P에서 C(4, 3)까지 거리의 최솟값”으로 바꿔 읽으세요.
직선 위의 점까지 거리가 최소인 순간은 수선의 발일 때이고, 그 값이 곧 점과 직선 사이의 거리입니다. 공식 |ax₁+by₁+c|/√(a²+b²)에 C(4, 3)과 x+y−1=0을 대입해 PC의 최솟값을 구한 뒤, 마지막에 √(PC²−4)로 되돌아오면 끝입니다.
정답 확인
정답 ④ PT의 최솟값 = √14
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 점 A, B를 지나는 직선의 방정식
두 점 A(1, 0), B(−1, 2)를 지나므로 기울기는 (2−0)/(−1−1)=−1이고, y−0=−1·(x−1)에서 y=−x+1, 즉 x+y−1=0입니다. 점 P는 이 직선 위의 임의의 점입니다.
STEP BPT를 PC로 갈아타기
원 (x−4)²+(y−3)²=4의 중심을 C(4, 3), 반지름을 2라 하면 접점 T에서 CT ⊥ PT이므로 삼각형 PTC는 ∠T=90°인 직각삼각형입니다.
핵심 관계 — PT=√(PC²−2²)=√(PC²−4). 반지름이 고정이므로 PT가 최소 ⟺ PC가 최소입니다.
이렇게 두 개의 움직이는 점(P와 T)을 다루던 문제가 P 하나만 다루는 문제로 줄어듭니다.
STEP C점과 직선 사이의 거리로 최솟값 계산
PC의 최솟값은 점 C(4, 3)에서 직선 x+y−1=0까지의 거리이므로 |4+3−1|/√(1²+1²)=6/√2=3√2입니다. 따라서 PT의 최솟값은 √((3√2)²−4)=√(18−4)=√14입니다.
1등급 다른 풀이 · 직선을 매개변수로 두고 이차함수로 처리하기
기하적 관찰이 떠오르지 않을 때를 대비해 순수 계산 루트도 확보해 두면 좋습니다. 점 P가 직선 y=−x+1 위에 있으므로 P(t, 1−t)로 놓습니다.
그러면 PC²=(t−4)²+(1−t−3)²=(t−4)²+(t+2)²=2t²−4t+20=2(t−1)²+18입니다. t=1일 때 최솟값 18이므로 PC의 최솟값은 √18=3√2이고, PT²=18−4=14에서 PT의 최솟값은 √14입니다.
이 풀이의 부수적 이득은 최소가 되는 지점의 좌표까지 알려준다는 점입니다. t=1이므로 P(1, 0), 즉 최솟값을 주는 점은 정확히 점 A입니다. 그림에서 수선의 발이 A와 겹친다는 사실을 계산으로 확인할 수 있고, 이런 우연은 답을 검산하는 좋은 단서가 됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 접선의 길이는 PT²=PC²−r² 한 줄로 외워 두세요. 원 밖의 점에서 그은 접선 문제의 90%는 이 식과 직각삼각형 그림 하나로 정리됩니다.
- “PC가 최소일 때 PT도 최소”라는 연결이 성립하는 이유는 r이 상수이고 √ 안의 식이 증가함수이기 때문입니다. 무작정 옮기지 말고 이 논리를 서술형에서는 한 줄 적어 주는 것이 안전합니다.
- 점과 직선 사이의 거리 공식은 직선을 반드시 ax+by+c=0 꼴로 정리한 뒤 대입하세요. y=−x+1 상태로 계수를 뽑다가 부호를 틀리는 실수가 가장 흔합니다.
- 마지막에 √(18−4)를 √18−√4로 계산해 3√2−2로 답하는 오류가 자주 나옵니다. 루트는 항으로 쪼개지지 않습니다. 안에서 먼저 빼고 마지막에 한 번만 씌우세요.
- 선택지에 3, √10, 2√3, √14, 4가 나란히 있는 것은 중간 계산 오류를 정확히 겨냥한 배치입니다. √10은 r을 잘못 잡았을 때, 2√3은 거리 계산에서 6/√2를 3으로 줄였을 때 나오는 값이니 답이 선택지에 있다고 안심하지 마세요.
엄선된 풀이 영상
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