TOUGH
최다빈출 · 왕중요
Ⅰ-03 원의 방정식
원과 직선의 위치 관계
접선의 수직 조건
점과 직선 사이의 거리
근과 계수의 관계
출제의도
“두 접선이 서로 수직”이라는 각도 조건을 거리 조건으로 바꿔 쓸 수 있는지를 묻는 문항입니다. 조건 그대로 두 접선의 방정식을 구해 기울기의 곱을 −1로 놓으면 식이 감당하기 어렵게 커집니다.
돌파구는 그림입니다. 원의 중심 C, 두 접점 A·B, 두 접선의 교점 D를 이으면 세 각이 직각이고 CA=CB=1인 사각형, 즉 한 변의 길이가 1인 정사각형이 만들어집니다. 정사각형이 보이는 순간 “중심에서 직선 AB까지의 거리”가 대각선의 절반이라는 숫자 하나로 확정되고, 문제는 점과 직선 사이의 거리 공식 한 줄로 줄어듭니다. 마지막에 답으로 요구하는 것이 m의 값이 아니라 값의 합이라는 점도 설계의 일부입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
두 접선의 교점을 D라 하고, 원의 중심 C(1, 1)에서 두 접점 A, B로 선분을 그어 보세요. 접선은 접점에서 반지름과 수직이므로 ∠CAD=∠CBD=90°이고, 문제 조건에서 ∠ADB=90°입니다.
사각형 ADBC의 내각의 합은 360°이므로 남은 ∠ACB도 90°가 되고, CA=CB=1이므로 사각형 ADBC는 한 변의 길이가 1인 정사각형입니다. 이제 “두 접선이 수직”이라는 조건은 그림 위의 확정된 길이 하나로 바뀝니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
정사각형의 두 대각선은 서로 이등분하므로, 대각선 CD의 중점 M은 곧 대각선 AB의 중점이기도 합니다. 즉 M은 중심 C에서 직선 AB에 내린 수선의 발이고, CD=√2이므로 CM = √2⁄2로 값이 고정됩니다. 직선 AB는 문제에서 주어진 y=mx 그 자체라는 점이 연결고리입니다.
따라서 점 C(1, 1)과 직선 mx−y=0 사이의 거리를 공식으로 세우고 √2⁄2와 같다고 놓으세요. 양변을 제곱하면 m에 대한 이차방정식이 나옵니다. 문제는 근을 묻는 것이 아니라 모든 실수 m의 값의 합을 묻고 있으니, 판별식으로 서로 다른 두 실근임을 확인한 뒤 근과 계수의 관계로 마무리하면 됩니다.
정답 확인
정답 모든 실수 m의 값의 합 = 4
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A사각형 ADBC가 정사각형임을 파악하기
원의 중심을 C(1, 1)이라 하고 두 점 A, B에서 이 원에 접하는 두 직선의 교점을 D라 합니다. 원의 중심과 접점을 연결한 선분은 접선에 수직이고, 원 밖의 점 D에서 두 접점까지의 거리는 서로 같습니다. 여기에 두 접선이 서로 수직이라는 조건이 더해지므로 사각형 ADBC는 한 변의 길이가 1인 정사각형입니다.
STEP B중심에서 직선까지의 거리 조건 세우기
정사각형 ADBC에서 대각선 CD의 중점을 M이라 하면 CM = √22입니다. 점 C(1, 1)과 직선 mx−y=0 사이의 거리가 선분 CM의 길이와 같으므로
|m−1|√(m²+1) = √22, 즉 √(2(m²+1)) = 2|m−1|
양변을 제곱하여 정리하면 2(m²+1) = 4(m−1)², 즉 m²−4m+1=0입니다.
STEP C근과 계수의 관계로 값의 합 구하기
이차방정식 m²−4m+1=0의 판별식은 D4 = 4−1 = 3 > 0이므로 서로 다른 두 실근을 가집니다. 두 근의 합은 4, 곱은 1이므로 두 근은 모두 양수이고 조건 m > 0을 만족합니다.
따라서 근과 계수의 관계에 의하여 모든 실수 m의 값의 합은 4입니다.
1등급 다른 풀이 · 수직 조건을 근과 계수의 관계로 처리하기
정사각형을 보지 못했더라도, 두 접점의 좌표를 미지수로 두고 CA⊥CB를 그대로 식으로 옮기면 답에 도달할 수 있습니다.
중심이 (1, 1)이고 반지름의 길이가 1인 원의 방정식은 (x−1)²+(y−1)²=1입니다. 두 점 A, B의 좌표를 각각 (α, mα), (β, mβ)라 하고 원과 직선 y=mx를 연립하면
(x−1)²+(mx−1)²=1 → (1+m²)x² − 2(1+m)x + 1 = 0
이 이차방정식의 두 실근이 α, β이므로 근과 계수의 관계에 의하여 α+β = 2(1+m)1+m², αβ = 11+m²입니다.
한편 사각형 ADBC가 정사각형이므로 CA⊥CB이고, 두 직선의 기울기의 곱이 −1이라는 조건은
mα−1α−1 × mβ−1β−1 = −1 → (1+m²)αβ − (1+m)(α+β) + 2 = 0
여기에 위의 두 관계식을 대입하면 1 − 2(1+m)²1+m² + 2 = 0, 즉 3(1+m²) = 2(1+m)²에서 m²−4m+1=0으로 같은 식에 도달합니다. 이 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 가지므로 모든 실수 m의 값의 합은 4입니다.
실수를 줄이는 전략
- “두 접선이 수직”과 “두 반지름이 수직”은 이 그림에서 동치입니다. ∠ADB=90°이면 ∠ACB=90°이므로, 각 조건을 중심 쪽으로 옮겨 놓는 것이 계산을 줄이는 첫 수입니다.
- 중심에서 현 AB까지의 거리는 √22로 완전히 확정된 값입니다. 이 수를 얻는 순간 미지수는 m 하나만 남습니다. 그림을 그리지 않고 식부터 세우면 이 단순화를 놓칩니다.
- 거리 공식을 쓸 때 직선을 mx−y=0 꼴로 먼저 정리하세요. y=mx 상태에서 분모에 √(m²+1) 대신 √(m²)을 쓰는 실수가 자주 나옵니다.
- |m−1|을 제곱할 때 (m−1)²이지 (m+1)²이 아닙니다. 절댓값을 제곱으로 바꾸는 순간 부호 실수가 생기면 m²+4m+1=0이 되어 답이 −4로 뒤집힙니다.
- 답이 근의 값이 아니라 근의 합임을 확인하세요. 2±√3을 굳이 구할 필요가 없고, 근과 계수의 관계로 4를 바로 씁니다. 다만 m > 0이라는 단서가 있으므로 두 근이 모두 양수인지(합 4 > 0, 곱 1 > 0) 확인하는 한 줄은 반드시 넣으세요.
엄선된 풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.