TOUGH
최다빈출 · 왕중요
두 점 사이의 거리
원 위의 점까지의 거리
식의 기하적 해석
출제의도
이 문항의 승부처는 계산이 아니라 식을 읽는 눈입니다. √((a−3)²+(b−8)²)이라는 덩어리를 보고 ‘아, 이건 점 (a, b)와 점 (3, 8) 사이의 거리구나’를 알아채면 문제는 사실상 끝납니다. 반대로 이 해석을 못 하면 a, b를 어떻게든 소거하려다 원의 방정식과 뒤엉켜 길을 잃습니다.
거리로 번역하고 나면 남는 것은 원의 최대·최소의 표준 구조 하나뿐입니다. 원 밖의 정점에서 원 위의 점까지 거리의 최댓값은 (중심까지의 거리)+(반지름), 최솟값은 (중심까지의 거리)−(반지름)입니다. 최다빈출·왕중요 태그가 붙은 이유는 난도가 아니라 이 구조가 이후 모든 원 관련 최대·최소 문항의 뼈대이기 때문입니다. 여기서 확실히 체화해 두면 접선·현·두 원 문제까지 같은 논리로 밀고 갈 수 있습니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
구하라고 한 식의 모양부터 보세요. 두 점 사이의 거리 공식은 √((x₁−x₂)²+(y₁−y₂)²)입니다. 지금 식은 √((a−3)²+(b−8)²)이므로, 점 P(a, b)와 어떤 고정된 점 사이의 거리로 읽힙니다. 그 고정점의 좌표가 무엇인지 부호까지 정확히 확정하세요.
그러면 문제는 ‘원 위를 돌아다니는 점 P에서 그 고정점까지 거리가 가장 길어지는 순간은 언제인가’로 바뀝니다. 원의 중심과 반지름을 적어놓고, 종이 위에 원과 고정점을 대충 찍어보면 어디서 최대가 되는지 눈으로 보입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
고정점을 Q라 하고, 원의 중심을 C, 반지름을 r이라 하면 P는 원 위의 점이므로 항상 PC=r입니다. 삼각형의 성질(또는 삼각부등식)에 의해 PQ ≤ PC+CQ = r+CQ이고, 등호는 중심 C가 선분 PQ 위에 놓일 때, 즉 P가 직선 CQ와 원의 교점 중 Q에서 먼 쪽일 때 성립합니다.
따라서 실제로 해야 할 계산은 딱 하나, CQ의 길이뿐입니다. 두 점 사이의 거리 공식으로 CQ를 구한 뒤 반지름을 더하세요. 참고로 최솟값을 물었다면 CQ−r이 답이 됩니다.
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정답 16
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A√((a−3)²+(b−8)²)의 의미 파악
이 값은 점 P(a, b)와 점 Q(3, 8) 사이의 거리 PQ입니다. 괄호 안이 (a−3), (b−8)이므로 고정점의 좌표는 (3, 8)이며, 부호를 뒤집어 (−3, −8)로 잡지 않도록 주의해야 합니다. 결국 구하는 것은 점 Q(3, 8)에서 원 위의 점 P까지 거리의 최댓값입니다.
STEP B중심까지의 거리 CQ 계산
원 (x+2)²+(y+4)²=9의 중심은 C(−2, −4), 반지름은 r=3입니다. 두 점 C(−2, −4)와 Q(3, 8) 사이의 거리는
CQ=√((−2−3)²+(−4−8)²)=√(25+144)=√169=13
13>3이므로 점 Q는 원의 바깥쪽에 있습니다. 최대·최소 공식을 그대로 쓸 수 있는 상황입니다.
STEP C최댓값 확정
P가 직선 CQ와 원의 두 교점 중 Q에서 먼 쪽에 올 때 PQ가 최대가 되고, 그 값은 (CQ의 길이)+(반지름)입니다. 따라서 최댓값은 13+3=16입니다. 참고로 최솟값은 13−3=10입니다.
1등급 다른 풀이 · 왜 ‘중심거리+반지름’인지 증명하기
공식을 외워서 쓰는 것과, 왜 그런지 알고 쓰는 것은 응용 상황에서 갈립니다. 삼각부등식 한 줄이면 정당화가 끝납니다.
P는 원 위의 점이므로 항상 PC=3입니다. 세 점 P, C, Q에 대하여 삼각부등식 PQ ≤ PC+CQ가 성립하므로 PQ ≤ 3+13=16이고, 등호는 세 점이 P−C−Q 순서로 한 직선 위에 놓일 때입니다. 원과 직선 CQ의 교점 중 Q에서 먼 쪽 점이 정확히 그 위치이므로 최댓값 16은 실제로 도달 가능합니다.
같은 논리로 CQ ≤ CP+PQ에서 PQ ≥ CQ−PC=13−3=10을 얻어 최솟값도 한꺼번에 나옵니다. 이 관점을 잡아두면 점 Q가 원 내부에 있는 변형 문제에서도 흔들리지 않습니다. 내부일 때는 최댓값이 r+CQ로 그대로지만, 최솟값은 CQ−r이 음수가 되므로 r−CQ로 바뀝니다.
실수를 줄이는 전략
- 고정점 좌표의 부호가 1번 실수 지점입니다. (a−3)²+(b−8)²이면 점은 (3, 8)이고, 원 (x+2)²+(y+4)²=9의 중심은 (−2, −4)입니다. 식 안의 부호와 점의 부호는 항상 반대라는 것을 손으로 한 번 확인하고 넘어가세요.
- 문제가 최댓값을 물었는지 최솟값을 물었는지 마지막에 반드시 되짚으세요. 13±3에서 부호 하나 잘못 고르면 10과 16이 갈립니다.
- √169를 13으로 정리하지 않고 그대로 두면 마지막에 √169+3 같은 형태로 답을 적게 됩니다. 근호 안이 완전제곱인지 매번 확인하는 습관이 안전합니다.
- 정점이 원 안인지 밖인지 먼저 판정하세요. CQ와 r을 비교하는 데 1초면 충분하고, 이 한 줄이 최솟값 문제에서 공식을 잘못 적용하는 사고를 막아줍니다.
- a, b를 실제로 구하려 들지 마세요. 이 문제는 P의 좌표를 끝까지 구하지 않고도 답이 나오는 구조이며, 좌표를 구하려는 순간 불필요한 무리식 계산에 빠집니다.
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