TOUGH
원과 직선의 위치관계
점과 직선 사이의 거리
연립부등식
출제의도
하나의 직선이 두 원에 대해 서로 다른 위치관계를 동시에 만족해야 하는 문항입니다. 한 원과는 만나지 않고, 다른 원과는 두 점에서 만나야 합니다. 위치관계를 따지는 도구는 하나뿐입니다. 중심과 직선 사이의 거리 d를 반지름 r과 비교하는 것이죠. 만나지 않으면 d>r, 접하면 d=r, 서로 다른 두 점에서 만나면 d<r입니다.
난도를 올리는 지점은 두 가지입니다. 첫째, 두 조건의 부등호 방향이 반대여서 하나만 잘못 세워도 범위가 통째로 어긋납니다. 둘째, 얻은 두 범위의 공통부분을 구한 뒤 a와 b를 정확히 대응시켜야 합니다. 계산 자체는 제곱 한 번이면 k²이 소거되어 일차부등식으로 내려오므로, 이 문항의 승부는 전적으로 조건을 부등식으로 옮기는 정확성에 달려 있습니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
직선과 원의 위치관계는 판별식으로도 풀 수 있지만, 원이 등장하면 거리 비교가 압도적으로 빠릅니다. 직선 kx+y+2=0은 이미 Ax+By+C=0 꼴이므로 A=k, B=1, C=2, 분모는 √(k²+1)입니다.
두 조건을 각각 문장 그대로 옮겨 보세요. “원 (x+1)²+(y−2)²=1과 만나지 않는다”는 중심 (−1, 2)까지의 거리가 반지름 1보다 크다는 뜻이고, “원 (x+2)²+(y−4)²=4와 서로 다른 두 점에서 만난다”는 중심 (−2, 4)까지의 거리가 반지름 2보다 작다는 뜻입니다. 반지름은 우변의 4가 아니라 2라는 점을 놓치지 마세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
부등식을 세운 뒤 양변을 제곱하세요. 절댓값과 √(k²+1)은 모두 0 이상이므로 부등호 방향이 그대로 유지됩니다. 이때 양변의 k²항이 서로 상쇄되어 k에 대한 일차부등식만 남는 것이 이 문제의 계산상 핵심입니다.
첫 번째 조건에서는 16−8k>1이 남고, 두 번째 조건에서는 36−24k<4가 남습니다. 두 결과를 수직선 위에 함께 그려 공통범위를 찾은 뒤, a는 작은 쪽 경계, b는 큰 쪽 경계에 대응시켜 곱을 구하면 됩니다. 답이 a+b가 아니라 ab라는 것도 마지막에 한 번 더 확인하세요.
정답 확인
정답 ④ ab = 52
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A첫 번째 원과 만나지 않을 조건
원 (x+1)²+(y−2)²=1의 중심은 (−1, 2), 반지름은 1입니다. 직선 kx+y+2=0과 만나지 않으려면 중심에서 직선까지의 거리가 반지름보다 커야 하므로 |−k+2+2|/√(k²+1)>1, 즉 |4−k|>√(k²+1)입니다.
양변을 제곱하면 k²−8k+16>k²+1에서 k²이 소거되어 −8k>−15, 따라서 k<15/8 ······ ㉠
STEP B두 번째 원과 두 점에서 만날 조건
원 (x+2)²+(y−4)²=4의 중심은 (−2, 4), 반지름은 2입니다. 서로 다른 두 점에서 만나려면 거리가 반지름보다 작아야 하므로 |−2k+4+2|/√(k²+1)<2, 즉 |−2k+6|<2√(k²+1)입니다.
양변을 제곱하면 4k²−24k+36<4k²+4에서 −24k<−32, 따라서 k>4/3 ······ ㉡
STEP C공통범위에서 ab 구하기
㉠, ㉡을 동시에 만족하는 범위는 4/3<k<15/8입니다. 4/3≈1.33, 15/8=1.875이므로 공집합이 아님이 확인됩니다.
a = 4/3, b = 15/8 — 따라서 ab = (4/3)×(15/8) = 60/24 = 5/2
분자·분모를 약분할 때 4와 8, 3과 15가 각각 짝을 이루므로 (1/3)×(15/2)=5/2로 정리하면 계산이 한 번에 끝납니다.
1등급 다른 풀이 · 고정점과 y축 접선으로 읽기
계산을 하기 전에 그림을 먼저 보면, 왜 두 조건이 모두 일차부등식으로 내려오는지가 설명됩니다.
직선 kx+y+2=0을 k에 대해 정리하면 k·x+(y+2)=0입니다. k의 값에 관계없이 이 식이 성립하려면 x=0, y=−2여야 하므로, 이 직선은 항상 점 (0, −2)를 지나는 직선 다발입니다. 단, x=0(y축)은 이 꼴로 나타낼 수 없으므로 다발에서 빠져 있습니다.
여기서 두 원을 다시 보세요. 첫 번째 원은 중심 (−1, 2), 반지름 1이므로 y축까지의 거리가 정확히 1이고, 두 번째 원은 중심 (−2, 4), 반지름 2이므로 y축까지의 거리가 정확히 2입니다. 즉 y축은 두 원 모두에 접하는 공통접선입니다.
따라서 점 (0, −2)에서 각 원에 그을 수 있는 접선 두 개 중 하나는 언제나 y축이고, 그 y축이 다발에서 제외되어 있으므로 남는 경계는 원마다 딱 하나뿐입니다. 이것이 제곱했을 때 k²이 소거되며 경계값이 하나씩만 나오는 이유입니다. 그 경계는 첫 번째 원에서 k=15/8, 두 번째 원에서 k=4/3이고, k=0(직선 y=−2)이 첫 번째 원과는 만나지 않고 두 번째 원과도 만나지 않는다는 점을 대입해 보면 부등호 방향까지 그림으로 확인됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 부등호 방향을 문장에서 바로 옮기세요. 만나지 않는다 → d>r, 접한다 → d=r, 서로 다른 두 점 → d<r입니다. 두 조건의 방향이 반대인 문항에서는 세우자마자 그림으로 한 번 검증하는 것이 안전합니다.
- 반지름을 우변 값과 혼동하지 마세요. (x+2)²+(y−4)²=4에서 반지름은 2입니다. 이 한 글자 때문에 두 번째 부등식이 통째로 틀리는 경우가 가장 흔합니다.
- 중심 좌표의 부호도 함정입니다. (x+1)²+(y−2)²=1의 중심은 (−1, 2)이지 (1, −2)가 아닙니다. 대입 전에 중심과 반지름을 옆에 따로 적어두세요.
- 제곱은 양변이 모두 0 이상일 때만 부등호가 보존됩니다. 여기서는 좌변이 절댓값, 우변이 √꼴이라 안전하지만, 습관적으로 제곱하기 전에 부호를 확인하는 태도를 유지하세요.
- 판별식으로 풀려고 하면 직선을 원에 대입해 이차식을 전개해야 하고 계수에 k가 섞여 계산량이 몇 배로 늘어납니다. 원이 등장하는 위치관계 문제는 거리 공식이 정석입니다.
- 마지막에 a<k<b의 대응을 확인하세요. a는 작은 쪽 4/3, b는 큰 쪽 15/8입니다. 이 문항은 곱을 묻기 때문에 순서를 바꿔도 답이 같지만, a−b나 b−a를 묻는 변형에서는 곧바로 틀립니다.
엄선된 풀이 영상
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