TOUGH
원의 접선
넓이의 이등분
점과 직선 사이의 거리
출제의도
직선 하나에 조건 두 개가 걸려 있고, 두 조건이 각각 다른 원에서 나옵니다. 하나는 “접한다”, 다른 하나는 “넓이를 이등분한다”입니다. 접선 조건은 익숙하지만, 넓이를 이등분한다는 표현을 조건식으로 바꾸는 데서 갈립니다. 원은 중심에 대해 점대칭인 도형이므로, 원의 넓이를 이등분하는 직선은 반드시 중심을 지나는 직선입니다. 이 한 문장을 아느냐가 이 문항의 첫 관문입니다.
두 번째 관문은 순서입니다. 미지수가 a, b 두 개인데 조건도 두 개이므로, 계산이 간단한 쪽(중심 통과)을 먼저 써서 b=−a라는 관계를 확보한 다음 접선 조건을 쓰면 미지수가 하나로 줄어듭니다. 순서를 바꾸면 두 미지수가 섞인 무리방정식과 씨름하게 됩니다. 조건을 어떤 순서로 소비할지를 묻는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
“원 (x−1)²+y²=1의 넓이를 이등분한다”를 그림으로 옮겨 보세요. 원을 넓이가 같은 두 조각으로 나누는 직선은 중심을 지나는 직선뿐입니다(그런 직선은 무수히 많고, 방향은 자유롭습니다). 즉 이 조건은 직선이 점 (1, 0)을 지난다는 뜻으로 바뀝니다.
y=ax+b에 (1, 0)을 대입하면 0=a+b, 곧 b=−a입니다. 이제 직선은 y=ax−a 하나의 미지수로 정리되고, 남은 조건은 접선 조건 하나뿐입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
접선 조건은 중심에서 직선까지의 거리 = 반지름입니다. 거리 공식을 쓰려면 직선을 y=ax−a에서 ax−y−a=0으로 정리해야 합니다. 여기에 원 (x+1)²+y²=1의 중심 (−1, 0)을 대입하면 분자는 |−a−0−a|=|−2a|, 분모는 √(a²+1)이 됩니다.
이 값이 반지름 1과 같다고 놓고 양변을 제곱하면 4a²=a²+1이라는 단순한 식이 남습니다. a는 두 개 나오지만 문제에서 기울기가 양수라고 못박았으므로 하나만 채택합니다. 마지막으로 a²+b²는 b=−a 덕분에 2a²으로 계산이 절반으로 줄어든다는 점을 이용하세요.
정답 확인
정답 ② a²+b² = 23
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A넓이 이등분 조건에서 a, b의 관계식 얻기
직선 y=ax+b가 원 (x−1)²+y²=1의 넓이를 이등분하므로, 이 직선은 원의 중심 (1, 0)을 지납니다. 대입하면 0=a·1+b, 즉 b=−a이고 직선의 방정식은 y=ax−a ······ ㉠
STEP B접선 조건에서 양수 a의 값 구하기
㉠이 원 (x+1)²+y²=1에 접하므로, 중심 (−1, 0)에서 직선 ax−y−a=0까지의 거리가 반지름 1과 같습니다.
거리식 — |a·(−1)−0−a|/√(a²+1) = |−2a|/√(a²+1) = 1, 즉 |−2a| = √(a²+1)
제곱 — 4a²=a²+1에서 3a²=1이므로 a=√3/3 또는 a=−√3/3
문제에서 기울기가 양수인 직선을 택했으므로 a=√3/3이고, ㉠에 의해 b=−√3/3입니다. 즉 구하는 직선은 y=(√3/3)x−√3/3입니다.
STEP Ca²+b²의 값 계산
b=−a이므로 a²+b²=2a²입니다. 3a²=1에서 a²=1/3이므로 a²+b²=2×(1/3)=2/3입니다. a와 b의 값을 각각 제곱해 더해도 1/3+1/3=2/3으로 같은 결과가 나옵니다.
1등급 다른 풀이 · 30° 직각삼각형으로 읽기
두 원은 반지름이 모두 1이고 중심이 (−1, 0)과 (1, 0)이므로, 원점에서 서로 외접하는 대칭 배치입니다. 이 대칭을 이용하면 방정식을 세우지 않고 각도만으로 기울기가 나옵니다.
구하는 직선은 오른쪽 원의 중심 (1, 0)을 지나면서 왼쪽 원에 접합니다. 접점을 T라 하면, 중심 (−1, 0)에서 접선에 내린 수선의 길이는 반지름 1이고, 두 중심 사이의 거리는 2입니다. 따라서 직각삼각형에서 빗변 2, 대변 1이므로 직선이 x축과 이루는 예각을 θ라 할 때 sin θ=1/2, 곧 θ=30°입니다.
기울기는 tan 30°=√3/3이고, 직선이 (1, 0)을 지나므로 b=−√3/3이 곧바로 따라옵니다. a²+b²=2a²=2/3까지 계산다운 계산은 한 줄도 없습니다. 덧붙이면 x축에 대한 대칭성 때문에 기울기가 −√3/3인 접선도 똑같이 존재하며, 문제가 굳이 “기울기가 양수인 직선”이라고 한정한 이유가 바로 이것입니다.
실수를 줄이는 전략
- “원의 넓이를 이등분한다 = 중심을 지난다“는 즉시 번역되어야 하는 표현입니다. 이등분선을 지름·수직이등분선 같은 것으로 오해하면 문제가 시작조차 되지 않습니다.
- 조건을 쓰는 순서가 계산량을 결정합니다. 중심 통과 조건을 먼저 써서 b=−a로 미지수를 하나 줄인 다음 접선 조건을 쓰세요. 반대로 하면 a, b가 섞인 |−a+b|=√(a²+1) 꼴에서 헤매게 됩니다.
- 거리 공식을 쓸 때는 반드시 ax−y−a=0처럼 우변을 0으로 만든 뒤 계수를 읽으세요. y=ax−a 상태로 대입하면 y의 계수 −1을 빠뜨려 분모가 √(a²)이 되는 실수가 나옵니다.
- |−2a|를 2a로 바꿔 쓰려면 a>0이라는 근거가 필요합니다. 이 문항에는 조건이 주어져 있지만, 조건이 없을 때 절댓값을 임의로 벗기면 근을 하나 잃습니다.
- 이 문제는 a>0 조건을 놓쳐도 a²+b²의 값은 같게 나옵니다. 답이 맞았다고 넘어가면 부호를 무시하는 습관이 그대로 굳으므로, 채점할 때 a와 b의 값 자체까지 맞았는지 확인하세요.
- 접선 공식 y=mx±r√(m²+1)은 중심이 원점인 원에만 그대로 쓸 수 있습니다. 여기서는 중심이 (−1, 0)이므로 x축 방향으로 평행이동해서 쓰거나, 처음부터 거리 공식으로 가는 편이 안전합니다.
엄선된 풀이 영상
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