TOUGH
Ⅰ-03 원의 방정식 · 1등급을 위한 필독서
원과 직선의 위치관계
기울기가 주어진 접선
평행이동
출제의도
이 문항은 기울기가 −1인 접선을 두 개 구한 뒤, 그중 어느 것이 제1사분면 접선이고 어느 것이 제3사분면 접선인지 부호로 구별하는 문제입니다. 접선의 방정식을 구하는 계산 자체는 두 줄이면 끝나지만, 부호를 대충 처리하면 답이 ①·②·④ 어디로든 흘러갑니다.
TOUGH로 배치된 이유는 ‘평행이동한 양 n’을 묻는 마지막 한 줄 때문입니다. 두 접선의 y절편이 각각 2√2, −2√2라는 것까지는 대부분 도달하지만, n을 절댓값이 아니라 방향까지 포함한 값으로 답해야 한다는 점을 놓치면 ④ 4√2를 고르게 됩니다. 원의 대칭성을 읽는 눈과 부호를 끝까지 관리하는 태도를 함께 묻는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
기울기가 −1인 직선을 y=−x+k로 놓으세요. 이 직선이 원 x²+y²=4에 접한다는 조건은 곧 원의 중심 (0, 0)에서 직선까지의 거리가 반지름 2와 같다는 뜻입니다. 접점을 구하려 하지 말고 거리 공식 한 줄로 처리하는 것이 핵심입니다.
k가 두 개 나오면, 그중 어느 것이 그림의 직선(제1사분면에서 접하는 직선)인지 판단해야 합니다. y절편이 양수인지 음수인지만 보면 바로 갈립니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
y=−x+k를 x+y−k=0으로 정리하면 중심에서의 거리는 |k|/√2입니다. 이것이 2와 같으므로 |k|=2√2, 즉 k=2√2 또는 k=−2√2입니다. 제1사분면에서 접하는 직선은 y절편이 양수여야 하므로 y=−x+2√2, 제3사분면에서 접하는 직선은 y=−x−2√2입니다.
이제 y=−x+2√2를 y축 방향으로 n만큼 평행이동하면 y=−x+2√2+n입니다. 이 식이 제3사분면 접선과 같아야 하므로 2√2+n=−2√2라는 일차방정식 하나만 남습니다. n이 음수로 나오는 것이 자연스러운지, 그림에서 직선이 아래로 내려갔는지 확인하며 마무리하세요.
정답 확인
정답 ③ n = −4√2
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A기울기 −1인 접선 두 개 구하기
원 x²+y²=4의 중심은 (0, 0), 반지름은 2입니다. 기울기가 −1인 직선을 y=−x+k라 하면 중심에서 직선 x+y−k=0까지의 거리는 |−k|√(1+1)=|k|√2이고, 이 값이 반지름 2와 같아야 하므로 |k|=2√2, 즉 k=±2√2입니다. 이 중 제1사분면에서 접하는 직선은 y절편이 양수인 y=−x+2√2입니다.
STEP B제3사분면 접선과 비교해 n 구하기
같은 계산에서 남은 k=−2√2가 곧 제3사분면에서 접하는 직선 y=−x−2√2입니다. 한편 y=−x+2√2를 y축 방향으로 n만큼 평행이동한 직선은 y=−x+2√2+n이므로, 두 식이 같아야 합니다.
2√2 + n = −2√2 ⇒ n = −2√2 − 2√2 = −4√2
기울기가 그대로이므로 비교할 것은 y절편뿐이고, 방정식은 일차 하나로 끝납니다. 직선이 위쪽(제1사분면)에서 아래쪽(제3사분면)으로 내려갔으니 n이 음수인 것도 그림과 일치합니다.
1등급 다른 풀이 · 두 평행선 사이의 거리로 읽기
제1사분면 접선과 제3사분면 접선은 기울기가 같은 두 평행선이고, 원을 사이에 두고 마주 보고 있습니다. 이때 두 평행선 사이의 거리는 정확히 지름, 즉 2×2=4입니다. 접선을 구하지 않아도 이 사실만으로 n을 잡을 수 있습니다.
기울기가 −1인 직선을 y축 방향으로 n만큼 옮기면 두 직선 사이의 실제(수직) 거리는 |n|√(1+1)=|n|√2가 됩니다. 이것이 4와 같아야 하므로 |n|=4√2이고, 이동 방향이 아래쪽이므로 n=−4√2입니다.
이 관점은 ‘기울기 m인 직선을 y축 방향으로 n만큼 옮겼을 때 실제 거리는 |n|/√(m²+1)’이라는 공식을 몸에 익히게 해 줍니다. 원과 두 평행 접선이 나오는 문항에서는 거의 항상 통하는 지름길입니다.
실수를 줄이는 전략
- 접선 문제에서 k=±2√2처럼 두 값이 나오면 반드시 그림과 대조해 어느 것이 어느 사분면인지 지정하세요. 이 문항은 두 값이 각각 문제의 두 직선에 그대로 대응하므로, 구별만 정확하면 추가 계산이 필요 없습니다.
- 거리 공식을 쓸 때 직선을 x+y−k=0 꼴로 먼저 정리하는 습관을 들이세요. y=−x+k 상태에서 분모를 √2로 쓰려다 √(1+1)을 빠뜨리는 실수가 가장 흔합니다.
- 묻는 것은 이동 거리가 아니라 평행이동한 값 n입니다. 절댓값 4√2를 그대로 답하면 ④번 오답입니다. 아래로 내려갔으면 음수라는 것을 마지막에 한 번 더 확인하세요.
- 기울기가 −1이라고 해서 접선이 y=−x±2가 되지는 않습니다. 반지름 2를 그대로 절편으로 옮겨 적는 오류(⑤ −8 쪽으로 흐르는 계산)를 조심하세요. 절편은 항상 r√(m²+1)입니다.
- 검산은 대입이 가장 빠릅니다. y=−x−2√2를 x²+y²=4에 넣어 판별식이 0인지 확인하면 30초 안에 접선임을 확정할 수 있습니다.
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