TOUGH
2023년 11월 고1 학력평가 20번
지름에 대한 원주각
원과 직선의 위치관계
점과 직선 사이의 거리
출제의도
이 문항은 조건 두 개를 각각 도형 언어로 번역한 뒤, ‘그런 점 P가 존재한다’는 문장을 원과 직선이 만난다는 조건으로 바꾸는 문제입니다. ∠APB=90°는 점 P가 움직일 수 있는 범위(자취)를 원 하나로 확정해 주고, ‘선분 CD 위의 점’은 P가 놓여야 할 또 하나의 도형을 줍니다. 두 도형이 공유점을 가지면 P가 존재하는 것이고, 그 조건이 곧 t의 범위입니다.
학력평가 20번에 배치된 이유는 계산이 어려워서가 아니라 번역이 두 번 필요하기 때문입니다. 각의 조건을 자취로 바꾸는 첫 번째 번역에서 막히면 손도 못 대고, 존재 조건을 거리 부등식으로 바꾸는 두 번째 번역에서 막히면 t를 하나하나 대입해 보다가 시간을 다 씁니다. 거꾸로 두 번역만 통과하면 남는 계산은 거리 공식 한 줄입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
A, B는 고정된 점이고 P만 움직입니다. ∠APB=90°인 점 P가 그리는 자취가 무엇인지부터 떠올리세요. 반원에 대한 원주각의 크기가 90°라는 사실을 거꾸로 읽으면, 선분 AB를 지름으로 하는 원 위의 점이 됩니다.
중심은 A, B의 중점, 반지름은 AB의 절반입니다. 여기까지 하면 문제는 “이 원과 선분 CD가 만나도록 하는 t의 범위는?”으로 완전히 바뀝니다. 이제 t는 각도가 아니라 직선의 위치를 조절하는 값일 뿐입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
C(2t, 0), D(0, t)는 각각 x절편, y절편이므로 직선 CD는 절편형으로 바로 씁니다. x/(2t)+y/t=1의 양변에 2t를 곱하면 x+2y=2t, 즉 x+2y−2t=0입니다. 기울기가 −1/2로 t와 무관하게 고정되고, t는 직선을 평행하게 밀어내는 역할만 한다는 점을 확인하세요.
원과 직선이 만날 조건은 (중심과 직선 사이의 거리) ≤ (반지름)입니다. 접할 때도 교점이 하나 생기므로 등호를 반드시 포함해야 M, m이 존재합니다. 거리 공식에 중심 좌표를 넣어 |11−2t|/√5 ≤ 2를 세우고, 절댓값 부등식을 −2√5 ≤ 11−2t ≤ 2√5로 풀면 t의 구간이 나옵니다. 최댓값과 최솟값의 차는 구간의 길이입니다.
정답 확인
정답 ① M−m = 2√5
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A∠APB=90°를 원의 방정식으로 번역
지름에 대한 원주각의 크기가 90°이므로, ∠APB=90°인 점 P는 두 점 A(1, 4), B(5, 4)를 지름의 양 끝점으로 하는 원 C 위에 있습니다. 중심은 AB의 중점 (3, 4), 반지름은 AB의 절반인 2이므로 원 C는 (x−3)²+(y−4)²=4입니다.
두 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 방정식 (x−1)(x−5)+(y−4)(y−4)=0을 전개해도 같은 결과를 얻습니다.
STEP B직선 CD를 t로 표현하고 존재 조건 세우기
C(2t, 0), D(0, t)를 지나는 직선의 기울기는 (0−t)/(2t−0)=−1/2이므로 y=−x/2+t, 정리하면 x+2y−2t=0입니다. 점 P는 원 C 위이면서 선분 CD 위의 점이어야 하므로, 그런 P가 존재할 조건은 원과 직선이 만나는 것입니다.
거리 계산 — 중심 (3, 4)와 직선 x+2y−2t=0 사이의 거리는 d=|3+2×4−2t|/√(1²+2²)=|11−2t|/√5
만날 조건 — d ≤ (반지름 2), 즉 |11−2t|/√5 ≤ 2에서 |11−2t| ≤ 2√5
−2√5 ≤ 11−2t ≤ 2√5를 t에 대해 풀면 11/2−√5 ≤ t ≤ 11/2+√5입니다. 2√5≈4.47이므로 이 구간은 대략 3.26 ≤ t ≤ 7.74이고, t>0이라는 조건에도 모두 부합합니다.
STEP CM−m의 값 계산
따라서 M=11/2+√5, m=11/2−√5이고, 두 값의 차는 11/2가 상쇄되어 M−m=2√5입니다. 구간의 양 끝은 직선이 원에 접하는 순간이므로, M−m은 결국 ‘접선 두 개 사이를 t가 이동한 거리’를 뜻합니다.
1등급 다른 풀이 · 원 위의 점을 대입해 최대·최소로 읽기
직선을 움직이는 대신, 점을 움직여도 같은 답이 나옵니다. 관점을 바꾸면 부등식 대신 삼각함수형 최대·최소 문제가 됩니다.
원 C 위의 점 P를 P(3+2cosθ, 4+2sinθ)로 두고 x+2y=2t에 대입하면 2t=(3+2cosθ)+2(4+2sinθ)=11+2cosθ+4sinθ입니다. 여기서 2cosθ+4sinθ의 값의 범위는 −2√5 이상 2√5 이하이므로 2t는 11−2√5부터 11+2√5까지 움직이고, t의 범위는 11/2−√5 ≤ t ≤ 11/2+√5로 즉시 확정됩니다.
이 관점의 장점은 t의 의미가 눈에 보인다는 점입니다. 직선 x+2y=2t는 기울기가 −1/2로 고정된 평행선 다발이고, 2t는 그 직선이 원의 어느 위치를 지나는지를 나타내는 눈금입니다. 원 위에서 x+2y가 가장 클 때와 가장 작을 때가 각각 M, m에 대응하며, 그 두 순간이 바로 접하는 순간입니다.
실수를 줄이는 전략
- 부등호에 등호를 반드시 포함하세요. 접할 때도 교점이 한 개 생겨 조건을 만족하는 P가 존재합니다. 등호를 빼면 t의 범위가 열린 구간이 되어 최댓값·최솟값 자체가 존재하지 않게 됩니다.
- 거리 공식을 쓰기 전에 직선을 반드시 Ax+By+C=0 꼴로 정리하세요. y=−x/2+t 상태에서 계수를 그대로 대입하면 분모가 √(1/4+1)이 되어 계산이 지저분해지고 부호 실수가 늘어납니다.
- C(2t, 0), D(0, t)는 절편이라는 점을 이용해 x/(2t)+y/t=1로 세우면 기울기 계산 없이 한 줄에 끝납니다. 다만 절편형은 t≠0일 때만 유효하므로 t>0 조건을 먼저 확인해 두세요.
- ‘직선 CD’가 아니라 ‘선분 CD’라는 점은 반드시 검산 대상입니다. 이 문항에서는 t의 양 끝값에서 접점이 각각 (2.1, 2.2), (3.9, 5.8) 부근으로 두 절편 사이에 놓여 모두 유효하지만, 접점이 선분 밖으로 나가는 유형도 자주 출제됩니다.
- ∠APB=90°이므로 P는 A, B와 일치할 수 없습니다. 자취 원에서 두 점을 제외하는 것이 원칙이며, 경계 상황에서 접점이 A나 B가 되지 않는지 한 번 확인하는 습관을 들이세요.
- M−m을 구할 때 M과 m을 각각 소수로 바꿔 빼지 마세요. 11/2가 그대로 소거되어 2√5가 남는 구조이므로, 무리수를 남긴 채 계산하는 편이 훨씬 빠르고 안전합니다.
엄선된 풀이 영상
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