TOUGH
2019년 09월 고1 학력평가 27번
x축·y축에 동시에 접하는 원
점과 직선 사이의 거리
절댓값 방정식
출제의도
이 문항의 출발점은 축에 접하는 원의 표준형입니다. x축과 y축에 동시에 접하는 원은 중심의 x좌표와 y좌표의 절댓값이 같고, 그 값이 곧 반지름입니다. 여기에 중심이 y=x 위에 있다는 조건이 겹치면 중심은 (a, a), 반지름은 |a|로 미지수가 단 하나로 줄어듭니다.
일등급 난도가 붙은 이유는 절댓값 처리에 있습니다. 반지름이 a가 아니라 |a|라는 점을 놓치면 원이 제1사분면에만 있다고 착각해 근을 하나만 얻게 됩니다. 문제가 친절하게 ‘원의 개수는 2’라고 알려주는 이유가 여기 있습니다. 두 개가 나와야 정상이며, 하나만 나왔다면 절댓값을 어디선가 잘못 벗긴 것입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
중심을 (a, a)로 두는 것까지는 대부분 합니다. 중요한 것은 그다음입니다. x축과 y축에 동시에 접하므로 반지름은 중심에서 각 축까지의 거리, 즉 |a|입니다. 따라서 원의 방정식은 (x−a)²+(y−a)²=a²입니다.
a>0이면 제1사분면에, a<0이면 제3사분면에 원이 생깁니다. 직선 3x−4y+12=0을 좌표평면에 대략 그려보면 이 직선이 제2사분면을 가로지르며 제1사분면과 제3사분면 양쪽에 원 하나씩을 허용한다는 것이 보입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
접선 조건을 거리로 바꾸세요. 중심 (a, a)와 직선 3x−4y+12=0 사이의 거리가 반지름 |a|와 같으므로 |3a−4a+12|/5 = |a|, 즉 |−a+12| = 5|a|입니다.
절댓값이 양쪽에 있으므로 −a+12=5a와 −a+12=−5a의 두 경우로 나눠 각각의 a를 구하세요. 두 값이 나오면 문제의 ‘원의 개수는 2’와 일치하는지 확인한 뒤 두 중심 A, B의 좌표를 적고 거리를 계산합니다. 마지막으로 문제가 묻는 것이 AB가 아니라 AB²라는 점을 잊지 마세요.
정답 확인
정답 AB² = 50
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A중심과 직선 사이의 거리로 a의 값 구하기
원의 중심이 직선 y=x 위에 있으므로 중심을 (a, a)라 하고, x축과 y축에 동시에 접하므로 반지름의 길이는 |a|입니다. 즉 원의 방정식은 (x−a)²+(y−a)²=a²입니다.
이 원이 직선 3x−4y+12=0에 접하므로 중심 (a, a)에서 직선까지의 거리가 반지름과 같습니다.
|3×a−4×a+12| / √(3²+(−4)²) = |−a+12| / 5 = |a|
따라서 |−a+12|=5|a|이므로 다음 두 경우로 나뉩니다.
( i ) −a+12 = 5a — 6a=12이므로 a=2
( ii ) −a+12 = −5a — 4a=−12이므로 a=−3
a=2 또는 a=−3으로 두 개의 값이 나오며, 이는 문제에서 주어진 ‘원의 개수는 2’와 정확히 일치합니다.
STEP BAB²의 값 구하기
a=2일 때 원의 방정식은 (x−2)²+(y−2)²=4이므로 중심은 A(2, 2)이고, a=−3일 때 원의 방정식은 (x+3)²+(y+3)²=9이므로 중심은 B(−3, −3)입니다.
따라서 AB² = {2−(−3)}² + {2−(−3)}² = 5²+5² = 50입니다.
1등급 다른 풀이 · 근과 계수의 관계로 곧장 AB² 구하기
두 중심이 모두 직선 y=x 위에 있다는 사실을 쓰면, a의 값을 하나하나 구하지 않고도 AB²가 나옵니다.
두 중심을 A(a₁, a₁), B(a₂, a₂)라 하면 AB²=(a₁−a₂)²+(a₁−a₂)²=2(a₁−a₂)²입니다. 즉 두 근의 차만 알면 됩니다.
한편 |−a+12|=5|a|의 양변을 제곱하면 (12−a)²=25a², 즉 a²−24a+144=25a²에서 24a²+24a−144=0, 정리하면 a²+a−6=0입니다. 근과 계수의 관계에 의해 a₁+a₂=−1, a₁a₂=−6이므로 (a₁−a₂)²=(a₁+a₂)²−4a₁a₂=1+24=25입니다. 따라서 AB²=2×25=50이 됩니다. 두 근을 각각 구하는 과정을 통째로 생략하는 접근입니다.
실수를 줄이는 전략
- 축에 접하는 원의 반지름은 a가 아니라 |a|입니다. 반지름을 a로 두는 순간 a>0이라는 조건을 몰래 추가한 셈이 되어 a=2 하나만 나오고, 제3사분면의 원을 통째로 놓칩니다.
- 문제가 ‘원의 개수는 2’라고 알려준 것을 검산 장치로 쓰세요. 근이 하나만 나왔거나 셋 이상 나왔다면 절댓값 처리나 부호에서 실수한 것입니다.
- 절댓값이 양변에 모두 있을 때는 A=B와 A=−B 두 경우로 나누거나, 아예 양변을 제곱해 이차방정식으로 바꾸세요. 제곱했을 때는 반드시 두 근이 모두 유효한지(반지름이 0이 아닌지) 확인합니다.
- 구하는 값이 AB가 아니라 AB²입니다. AB=5√2를 답으로 적으면 오답이며, 정수 답을 요구하는 단답형이라는 점에서도 AB²임을 알 수 있습니다.
- 중심이 y=x 위에 있으면 두 점 사이의 거리 계산에서 x 차이와 y 차이가 항상 같습니다. AB²=2(a₁−a₂)² 공식을 기억해 두면 좌표를 일일이 빼는 실수를 줄일 수 있습니다.
엄선된 풀이 영상
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