TOUGH
2024년 10월 고1 학력평가 26번
점과 직선 사이의 거리
두 직선에 접하는 원
절댓값 방정식
출제의도
이 문항은 ‘두 직선에 모두 접한다’는 말을 중심에서 두 직선까지의 거리가 반지름으로 같다는 식으로 옮기는 것이 전부인 문제입니다. 옮기고 나면 |2a−b+6|=|2a+b−6| 하나가 남고, 절댓값 등식이므로 두 경우가 갈라집니다.
학력평가 26번(단답형 마지막)에 배치된 이유는 계산량이 아니라 버리는 근거에 있습니다. 두 후보 중 하나는 조건을 만족하는 원이 아예 존재하지 않아 탈락하는데, 이걸 ‘그림상 아닌 것 같아서’로 넘기면 논리가 비고, 반대로 b=6까지 끌고 가면 답이 두 개로 늘어납니다. 후보를 만들고 근거를 대서 지우는 태도를 묻는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
구하는 것이 ‘중심 사이의 거리’이므로 중심을 C(a, b), 반지름을 r로 두고 시작합니다. 두 직선은 거리 공식에 넣기 좋게 일반형 2x−y+6=0, 2x+y−6=0으로 먼저 정리하세요.
두 직선에 모두 접한다는 것은 중심에서 두 직선까지의 거리가 둘 다 r이라는 뜻입니다. 즉 두 거리가 서로 같습니다. 여기서 나오는 |2a−b+6|=|2a+b−6|을 어떻게 풀지가 첫 갈림길입니다. 절댓값이 같다는 것은 안이 같거나 부호만 반대라는 뜻이라는 점을 떠올리세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
절댓값 등식을 풀면 b=6 또는 a=0이라는 두 후보가 나옵니다. 이 두 개는 사실 두 직선이 이루는 각의 이등분선 두 개(y=6과 y축)입니다. 여기서 곧바로 a=0으로 넘어가지 말고, b=6인 원이 점 (2, 0)을 지날 수 있는지 반드시 확인하세요. 중심이 (a, 6)일 때 반지름은 2|a|/√5인데, (a, 6)에서 (2, 0)까지의 거리는 아무리 작아도 6 이상입니다. 이 둘을 같다고 놓고 정리하면 근이 존재하지 않습니다.
남은 a=0으로 중심을 C(0, b)라 두면, 접선 조건에서 r=|b−6|/√5, 점 (2, 0)을 지난다는 조건에서 r=√(b²+4)를 얻습니다. 두 식을 제곱해서 연립하면 b에 대한 이차방정식이 나오고, 그 두 근이 곧 두 중심의 y좌표입니다. 두 중심이 모두 y축 위에 있으므로 답은 두 근의 차입니다.
정답 확인
정답 선분 O₁O₂의 길이 = 5
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A접선 조건을 거리로 옮겨 중심의 후보 찾기
중심을 C(a, b), 반지름을 r이라 하면 두 직선 2x−y+6=0, 2x+y−6=0까지의 거리가 모두 r이므로
r = |2a−b+6| / √5 = |2a+b−6| / √5
즉 2a−b+6 = ±(2a+b−6)이고, 부호에 따라 다음 두 경우가 나옵니다.
( i ) 같은 부호 — 2a−b+6 = 2a+b−6에서 2b=12, 즉 b=6
( ii ) 반대 부호 — 2a−b+6 = −(2a+b−6)에서 4a=0, 즉 a=0
STEP Bb=6인 경우를 근거를 대고 배제
중심이 C(a, 6)이면 반지름은 r=|2a−6+6|/√5=2|a|/√5입니다. 이 원이 점 (2, 0)을 지나려면 4a²/5 = (a−2)²+36이어야 하고, 정리하면 a²−20a+200=0입니다. 판별식이 400−800<0이므로 이런 a는 존재하지 않습니다. 따라서 b≠6이고, 중심은 C(0, b) 꼴만 남습니다.
STEP C두 중심의 좌표와 선분의 길이 구하기
C(0, b)일 때 접선 조건에서 r=|b−6|/√5이고, 점 (2, 0)을 지나므로 r=√((2−0)²+(0−b)²)=√(b²+4)입니다. 두 식을 같다고 놓고 양변을 제곱하면
(b−6)² = 5(b²+4) → 4b²+12b−16=0 → b²+3b−4=0 → (b+4)(b−1)=0
따라서 b=−4 또는 b=1이므로 두 중심은 O₁(0, −4), O₂(0, 1)입니다. 두 점이 모두 y축 위에 있으므로 선분 O₁O₂의 길이는 1−(−4)=5입니다.
1등급 다른 풀이 · 대칭성과 근과 계수의 관계
두 직선 y=2x+6, y=−2x+6은 기울기의 부호만 다르고 y절편이 같으므로 y축에 대해 대칭이고 점 (0, 6)에서 만납니다. 두 직선에 모두 접하는 원의 중심은 두 직선이 이루는 각의 이등분선 위에 놓이는데, 그 이등분선이 바로 y축과 직선 y=6입니다. 대칭축이 y축이라는 사실만으로 STEP A의 절댓값 계산을 건너뛸 수 있습니다.
중심이 y축 위에 있으면 원도 y축 대칭이므로, 점 (2, 0)을 지나는 순간 점 (−2, 0)도 함께 지납니다. 즉 이 원이 x축에서 잘리는 현의 길이가 4이고, 중심에서 x축까지의 거리는 |b|이므로 피타고라스에서 r²=b²+4가 곧바로 나옵니다. 좌표를 대입하지 않고 그림만으로 얻는 식입니다.
마지막이 가장 실전적입니다. 구하는 값은 두 중심의 y좌표의 차이므로 b²+3b−4=0의 두 근의 차만 알면 됩니다. 근과 계수의 관계에서 합은 −3, 곱은 −4이므로 (b₁−b₂)² = (−3)²−4×(−4) = 25, 즉 차는 5입니다. 인수분해로 −4와 1을 실제로 구하지 않아도 답이 나옵니다.
실수를 줄이는 전략
- 거리 공식에 넣기 전에 직선을 반드시 일반형으로 고치세요. y=−2x+6을 2x+y−6=0으로 옮길 때 부호를 하나만 틀려도 STEP A의 두 경우가 통째로 뒤바뀝니다.
- 절댓값이 같다는 조건은 경우가 둘입니다. |A|=|B| ⇔ A=±B를 기계적으로 써서 두 식을 모두 적어두고 시작하세요.
- 후보를 버릴 때는 그림 느낌이 아니라 근거를 남기세요. b=6은 판별식이 음수라서 탈락하는 것이고, 서술형이라면 이 한 줄이 배점입니다.
- r=√(b²+4)와 r=|b−6|/√5를 연립할 때 √5를 분모에 둔 채 제곱하면 5를 곱하는 것을 빠뜨리기 쉽습니다. 양변에 √5를 먼저 곱해 |b−6|=√(5b²+20) 꼴로 만든 뒤 제곱하세요.
- 묻는 것은 b의 값이 아니라 두 중심 사이의 거리입니다. b=1에서 멈추면 답이 1이 되어버립니다. 두 근을 모두 구했는지, 차를 구했는지 마지막에 한 번 더 확인하세요.
엄선된 풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.