TOUGH
최다빈출 · 왕중요
원의 접선
점과 직선 사이의 거리
곱셈공식의 활용
출제의도
이 문항은 접선의 방정식을 완전히 결정하지 않고도 답이 나오는 구조입니다. 직선을 f(x)=ax+b라 두면 구해야 할 f(−5)f(5)는 (−5a+b)(5a+b), 즉 b²−25a²입니다. 다시 말해 a와 b를 각각 알아낼 필요가 없고, b²−25a²라는 덩어리 하나만 구하면 끝나는 문제입니다.
이 관찰을 못 하면 접점의 좌표를 (p, q)로 놓고 접선의 방정식 px+qy=25를 세운 뒤 미지수 두 개를 끝까지 쫓아가게 됩니다. 반대로 곱셈공식을 먼저 정리해 두면, 접선 조건 한 줄에서 b²−25a²=25가 바로 튀어나옵니다. 구해야 할 식을 먼저 정리하고 조건을 나중에 쓰는 순서 감각을 묻는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
직선을 f(x)=ax+b (a, b는 상수)로 놓고, 구해야 하는 값을 먼저 정리해 보세요. f(−5)=−5a+b, f(5)=5a+b이므로 두 값의 곱은 (b−5a)(b+5a) 꼴, 즉 합차 공식이 그대로 적용됩니다.
정리하고 나면 필요한 것이 a도 b도 아니고 b²−25a² 하나뿐임이 보입니다. 이제 남은 일은 ‘접한다’는 조건에서 b²와 25a²의 관계식을 뽑아내는 것뿐입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
원 x²+y²=25의 중심은 원점, 반지름은 5입니다. 직선 y=ax+b, 즉 ax−y+b=0이 이 원에 접하므로 중심에서 직선까지의 거리가 5와 같습니다. |b|/√(a²+1)=5를 세운 뒤 양변을 제곱하면 b²=25a²+25가 되고, 이항하면 원하는 덩어리가 그대로 나옵니다.
거리 공식 대신 판별식으로 가도 됩니다. y=ax+b를 x²+y²=25에 대입해 얻은 (a²+1)x²+2abx+b²−25=0이 중근을 가져야 하므로 D/4=(ab)²−(a²+1)(b²−25)=0이고, 정리하면 같은 식에 도달합니다. 마지막으로 문제의 조건인 ‘접점 P가 제2사분면’이 답에 영향을 주는지 아닌지도 스스로 판단해 보세요.
정답 확인
정답 f(−5)f(5) = 25
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A중심과 직선 사이의 거리가 반지름과 같음을 이용
직선을 f(x)=ax+b (a, b는 상수)라 하면, 원 x²+y²=25의 중심은 (0, 0)이고 반지름의 길이는 5입니다. 중심 (0, 0)과 직선 ax−y+b=0 사이의 거리가 반지름과 같으므로 |b|/√(a²+1)=5, 즉 |b|=5√(a²+1)입니다.
양변을 제곱하면 b²=25a²+25이므로 b²−25a²=25를 얻습니다.
STEP Bf(−5)f(5)의 값 구하기
f(x)=ax+b이므로 f(−5)=−5a+b, f(5)=5a+b입니다. 따라서 f(−5)f(5)=(−5a+b)(5a+b)=b²−25a²=25입니다.
STEP C판별식으로 확인하기
같은 결과를 판별식으로도 얻을 수 있습니다. y=ax+b를 x²+y²=25에 대입하면 x²+(ax+b)²=25에서 (a²+1)x²+2abx+b²−25=0입니다. 원과 직선이 접하려면 이 이차방정식이 중근을 가져야 하므로 D/4=(ab)²−(a²+1)(b²−25)=0이고, 정리하면 25a²−b²+25=0, 즉 b²−25a²=25로 STEP A와 같습니다.
1등급 다른 풀이 · 원 밖의 점에서 접점까지의 거리로 읽기
f(−5)와 f(5)를 좌표평면 위의 길이로 해석하면 계산 없이 답의 구조가 드러납니다.
두 점 (−5, 0), (5, 0)을 각각 A′, B′라 하고, 두 직선 x=−5, x=5와 직선 y=f(x)의 교점을 각각 A, B라 하면 A(−5, f(−5)), B(5, f(5))입니다. 그런데 x=−5와 x=5는 각각 점 (−5, 0), (5, 0)에서 원에 접하는 접선이므로, 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 접점까지의 거리는 서로 같다는 성질에 의해 A′A=AP=f(−5), B′B=BP=f(5)입니다.
점 A를 지나고 x축에 평행한 직선이 선분 BB′과 만나는 점을 Q라 하면 AB=AP+BP=f(−5)+f(5), BQ=f(5)−f(−5), AQ=A′B′=10입니다. 직각삼각형 AQB에서 피타고라스 정리를 쓰면 {f(−5)+f(5)}²={f(5)−f(−5)}²+10²이고, 좌변과 우변을 전개해 정리하면 4f(−5)f(5)=100, 즉 f(−5)f(5)=25가 됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 구하라고 한 식을 먼저 문자로 정리하는 습관을 들이세요. f(−5)f(5)를 b²−25a²로 바꿔놓고 시작하면 조건을 한 번만 써도 끝나지만, 조건부터 붙들면 a와 b를 따로 구하려다 길을 잃습니다.
- 거리 공식을 쓸 때 직선을 반드시 ax−y+b=0 꼴로 옮겨 적으세요. y=ax+b를 그대로 대입해 계수를 a, b로 착각하면 분모가 √(a²+1)이 아니라 다른 값이 됩니다.
- |b|=5√(a²+1)에서 제곱하는 순간 부호 정보가 사라집니다. 하지만 이 문제가 요구하는 것은 b²−25a²이므로 부호를 복원할 필요가 없습니다. 반대로 b의 값 자체를 묻는 문제였다면 접점이 제2사분면이라는 조건에서 b>0을 확정해야 합니다.
- 제2사분면이라는 조건은 접선을 하나로 특정하기 위한 장치일 뿐, f(−5)f(5)의 값은 접점이 어디든 항상 25입니다. 조건이 답에 쓰이는지 아닌지를 구분하는 것도 실력입니다.
- (−5a+b)(5a+b)를 전개할 때 −25a²+b²임을 확인하세요. 부호를 뒤집어 25a²−b²로 두면 답이 −25가 되어 부호만 틀리는 아까운 실점이 됩니다.
엄선된 풀이 영상
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