TOUGH
최다빈출 · 왕중요
원과 직선의 위치관계
점과 직선 사이의 거리
절댓값 방정식
출제의도
이 문항은 원이 만족해야 할 조건이 세 개 주어집니다. 중심이 직선 y=3x 위에 있고, 두 직선 x+2y−3=0과 x+2y−11=0에 모두 접한다는 조건입니다. 미지수는 중심의 위치와 반지름 두 개뿐이므로, 조건을 식으로 옮기기만 하면 반드시 풀리는 구조입니다.
출제자가 실제로 확인하려는 것은 접선 조건을 거리 조건으로 바꾸는 습관입니다. 원과 직선이 접한다는 말은 중심에서 그 직선까지의 거리가 반지름과 같다는 말과 완전히 같습니다. 두 직선 모두에 접하므로 두 거리가 서로 같아지고, 여기서 중심의 좌표가 먼저 결정됩니다. 마지막에 a+b+c를 구할 때 c가 반지름이 아니라 반지름의 제곱이라는 점까지 놓치지 않아야 완주가 됩니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 중심을 미지수 하나로 줄이세요. 중심이 y=3x 위에 있으므로 중심은 (k, 3k) 꼴이고, 반지름을 r라 하면 원의 방정식은 (x−k)²+(y−3k)²=r²입니다. 이제 남은 미지수는 k와 r 둘뿐입니다.
다음으로 두 직선을 눈여겨보세요. x+2y−3=0과 x+2y−11=0은 x, y의 계수가 똑같습니다. 즉 두 직선은 평행합니다. 평행한 두 직선에 동시에 접하는 원이 어떤 모습일지 그림을 그려보면, 이 문제의 구조가 한눈에 들어옵니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
접한다는 조건을 점과 직선 사이의 거리로 옮기세요. 중심 (k, 3k)에서 두 직선까지의 거리가 모두 r와 같으므로 |k+6k−3|/√5 = |k+6k−11|/√5 = r 입니다. 앞의 두 식만 떼어내면 |7k−3|=|7k−11|이라는 절댓값 방정식이 됩니다.
절댓값 방정식은 두 경우로 나눕니다. 7k−3=7k−11은 k항이 소거되어 −3=−11이 되므로 해가 없고, 7k−3=−(7k−11)에서만 k가 나옵니다. k를 구했으면 다시 거리 식에 대입해 r를 구하고, a=k, b=3k, c=r²임을 확인한 뒤 더하세요. c에 r를 그대로 넣지 않도록 주의합니다.
정답 확인
정답 ⑤ a+b+c = 365
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A중심과 반지름을 미지수로 두기
원의 중심이 직선 y=3x 위에 있으므로 중심의 좌표를 (k, 3k), 반지름의 길이를 r (r>0)라 하면 원의 방정식은 (x−k)²+(y−3k)²=r²입니다. 문제의 형태 (x−a)²+(y−b)²=c와 비교하면 a=k, b=3k, c=r²가 됩니다.
STEP B두 접선까지의 거리가 모두 r임을 이용해 k 구하기
두 직선 x+2y−3=0, x+2y−11=0이 원의 접선이므로 중심에서 두 직선까지의 거리는 모두 반지름 r와 같습니다.
|k+2×3k−3| / √(1²+2²) = |k+2×3k−11| / √(1²+2²) = r ⋯⋯ ㉠
즉 |7k−3| = |7k−11|이므로 다음 두 경우로 나눕니다.
( i ) 7k−3 = 7k−11 — 양변의 7k가 소거되어 −3=−11이 되므로 이를 만족시키는 k는 존재하지 않습니다.
( ii ) 7k−3 = −(7k−11) — 7k−3=−7k+11에서 14k=14, 따라서 k=1
( i ), ( ii )에서 k=1이므로 중심의 좌표는 (1, 3)입니다.
STEP Ca+b+c의 값 계산
k=1을 ㉠에 대입하면 r = |7−3|/√5 = 4/√5이고, 원의 방정식은 (x−1)²+(y−3)² = 16/5입니다. 따라서 a=1, b=3, c=16/5이므로 a+b+c = 1+3+16/5 = 36/5가 됩니다.
1등급 다른 풀이 · 평행선 사이의 거리로 반지름 먼저 잡기
두 직선이 평행하다는 사실을 먼저 쓰면, 거리 공식을 두 번 쓰지 않고도 반지름과 중심이 한 번에 나옵니다.
평행한 두 직선에 동시에 접하는 원은 두 직선 사이에 딱 끼어 있으므로, 두 직선 사이의 거리가 곧 지름입니다. x+2y−3=0 위의 점 (3, 0)에서 x+2y−11=0까지의 거리를 재면 |3−11|/√5 = 8/√5이고, 따라서 2r=8/√5, 즉 r=4/√5, c=r²=16/5가 계산 한 줄로 확정됩니다.
중심은 두 직선의 한가운데를 지나는 직선, 즉 x+2y−7=0 위에 있습니다. 여기에 y=3x를 대입하면 x+6x−7=0에서 x=1, y=3이므로 중심은 (1, 3)입니다. 절댓값 방정식을 세우고 경우를 나누는 과정을 통째로 건너뛰는 접근입니다.
실수를 줄이는 전략
- 가장 흔한 실점은 c를 반지름으로 착각하는 것입니다. 주어진 식이 (x−a)²+(y−b)²=c이므로 c=r²입니다. r=4/√5를 그대로 더하면 답이 선택지에 없어 당황하게 됩니다.
- 접선 조건은 무조건 중심에서 직선까지의 거리 = 반지름으로 바꾸세요. 원과 직선의 방정식을 연립해 판별식으로 가는 길도 있지만, 이 문제처럼 접선이 두 개면 거리 조건이 압도적으로 빠릅니다.
- |7k−3|=|7k−11|처럼 양변의 일차항 계수가 같은 절댓값 방정식은 한쪽 경우가 반드시 불능이 됩니다. 해가 없다는 사실을 확인만 하고 넘어가면 되며, 여기서 억지로 k를 만들어내면 안 됩니다.
- 두 직선의 계수 비교를 습관화하세요. x+2y−3=0과 x+2y−11=0은 평행이므로 원이 두 직선 사이에 놓이지만, 만약 두 직선이 만난다면 접하는 원은 각의 이등분선 위에 중심이 놓이는 전혀 다른 문제가 됩니다.
- 분모에 √5가 남은 채로 계산하지 말고 제곱해서 r²=16/5로 넘어가세요. 유리화 과정에서 4/√5를 4√5/5로 바꾼 뒤 제곱하면 16×5/25=16/5로 같은 값이 나오는지 검산할 수 있습니다.
엄선된 풀이 영상
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