TOUGH
Ⅰ-03 원의 방정식
접선의 길이
두 접점을 잇는 현
삼각형의 넓이
출제의도
앞 문항(0402)에서 익힌 ‘두 접점을 잇는 현의 길이’를 좌표가 단순한 상황에서 한 번 더 쓰게 하되, 거기서 한 걸음 더 나아가 삼각형 PAB의 넓이까지 요구하는 문항입니다. 밑변에 해당하는 AB만으로는 부족하고, 높이에 해당하는 PQ까지 따로 구해야 답이 나옵니다.
TOUGH로 분류된 이유는 구해야 할 길이가 두 개라는 점, 그리고 마지막 관문이 계산이 아니라 답의 형식이라는 점 때문입니다. 넓이를 정확히 192/25로 구해 놓고도 p+q를 묻는 조건을 놓치면 그대로 실점합니다. 기약분수 조건까지 확인하고 마무리하는 습관을 점검하는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
원 x²+y²=9의 중심은 원점 O, 반지름의 길이는 3이고 P(5, 0)이므로 OP=5입니다. 반지름 OA와 접선 AP는 수직이므로 삼각형 OAP는 A가 직각인 직각삼각형이고, 세 변이 3, 4, 5라는 익숙한 조합으로 떨어집니다.
다음으로 두 접점 A, B가 x축에 대해 대칭임을 확인하세요. 그러면 AB는 x축과 수직으로 만나고, 그 교점을 Q라 할 때 AB=2AQ이며, 동시에 PQ가 삼각형 PAB의 높이가 됩니다. 구할 것은 AQ와 PQ 두 개로 정리됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
AQ는 직각삼각형 OAP에서 빗변 OP에 내린 높이입니다. 넓이를 두 가지로 세어 ½ × AP × OA = ½ × OP × AQ 로 놓으면 AQ가 나옵니다.
높이 PQ는 직각삼각형 APQ에서 피타고라스 정리로 √(AP²−AQ²)를 계산하면 됩니다. 마지막에 넓이 ½ × AB × PQ를 구한 뒤, 분수가 기약분수인지 확인하고 p+q를 답하세요. 분모·분자를 각각 25로 통일해 두면 계산이 훨씬 깔끔합니다.
정답 확인
정답 217 (넓이 = 19225)
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A접선의 길이 AP 구하기
원 x²+y²=9의 중심은 O(0, 0), 반지름의 길이는 3이므로 OA=3이고 OP=5입니다. 반지름과 접선은 수직이므로 직각삼각형 OAP에서 AP=√(OP²−OA²)=√(25−9)=4입니다.
STEP B넓이를 두 번 세어 AQ, 그리고 AB 구하기
선분 AB와 x축의 교점을 Q라 하면 AB⊥OP이므로 AQ는 직각삼각형 OAP에서 빗변 OP에 내린 높이입니다.
( i ) 직각을 낀 두 변으로 — 넓이 = ½ × AP × OA = ½ × 4 × 3 = 6
( ii ) 빗변과 높이로 — 넓이 = ½ × OP × AQ = ½ × 5 × AQ
두 값을 같다고 놓으면 AQ=125이고, 대칭에 의해 AB=2AQ=245입니다.
STEP C높이 PQ와 삼각형 PAB의 넓이 구하기
직각삼각형 APQ에서 PQ=√(AP²−AQ²)=√(16−144/25)=√(256/25)=165입니다.
따라서 삼각형 PAB의 넓이는 ½ × 245 × 165 = 19225이고, 192와 25는 서로소이므로 p=192, q=25에서 p+q=217입니다.
1등급 다른 풀이 · 두 접점을 지나는 직선으로 좌표를 확정하기
두 접점을 지나는 직선의 방정식을 먼저 구하면 AQ와 PQ가 계산 없이 좌표만으로 읽힙니다. 원 x²+y²=9에 대해 점 P(5, 0)에서 그은 두 접선의 접점을 지나는 직선은 5x+0·y=9, 즉 x=9/5입니다.
이 직선을 x²+y²=9에 대입하면 y²=9−81/25=144/25이므로 y=±12/5이고, 곧 A(9/5, 12/5), B(9/5, −12/5)로 두 접점의 좌표가 완전히 확정됩니다. 밑변 AB=24/5는 y좌표의 차이로 바로 나오고, 높이 PQ는 P의 x좌표 5에서 직선의 x좌표 9/5를 뺀 5−9/5=16/5로 뺄셈 한 번이면 끝납니다. 넓이는 마찬가지로 192/25입니다.
직각삼각형의 세 관계를 외워 두면 더 빠릅니다. 직각삼각형 OAP에서 빗변 OP에 내린 수선의 발이 Q일 때 OQ=OA²/OP=9/5, PQ=AP²/OP=16/5, AQ=OA·AP/OP=12/5가 각각 성립합니다. 이 세 값이 위에서 구한 결과와 정확히 일치합니다.
실수를 줄이는 전략
- 마지막 질문을 놓치지 마세요. 묻는 것은 넓이가 아니라 p+q입니다. 192/25까지 구하고 답란에 192를 적는 실수가 이 유형에서 가장 흔합니다.
- 기약분수 조건을 확인하세요. 192=2⁶×3, 25=5²로 서로소이므로 그대로 p=192, q=25입니다. 약분이 되는데도 그냥 두면 p+q가 달라집니다.
- 높이 PQ를 OP−OA=2로 잘못 잡는 경우가 많습니다. 높이의 기준은 반지름이 아니라 밑변 AB가 x축과 만나는 점 Q까지의 거리이며, OQ=9/5이므로 PQ=16/5입니다.
- AQ를 구한 뒤 2배 하는 것을 잊으면 넓이가 정확히 절반이 됩니다. AQ는 반현, AB가 밑변입니다.
- 분수 계산은 분모를 5로 통일한 채 진행하세요. 4²−(12/5)²을 소수로 바꾸면 오차가 생기지만, 400/25−144/25=256/25로 두면 루트가 깔끔하게 벗겨집니다.
엄선된 풀이 영상
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