TOUGH
최다빈출 · 왕중요
Ⅰ-03 원의 방정식
접선의 길이
두 접점을 잇는 현
넓이 두 번 세기
출제의도
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 접점을 잇는 선분 AB의 길이를 묻는, 원의 방정식 단원에서 가장 자주 등장하는 유형입니다. 접선의 길이 AP는 반지름과 접선이 수직이라는 성질만 알면 피타고라스 정리로 곧장 나오지만, AB는 그 어떤 직각삼각형의 변으로도 바로 등장하지 않습니다. 여기서 한 번 더 나아가는 도구가 필요합니다.
그 도구가 넓이를 두 번 세기입니다. 직각삼각형 PAC의 넓이를 직각을 낀 두 변으로 한 번, 빗변 CP와 그 위에 내린 높이 AQ로 또 한 번 계산해 등식으로 놓으면 AQ가 구해지고, 두 접점이 직선 CP에 대해 대칭이라는 사실에서 AB=2AQ가 됩니다. ‘최다빈출·왕중요’ 표시가 붙은 이유는 이 두 줄짜리 아이디어가 이후 원과 관련된 거의 모든 길이 문제에서 반복되기 때문입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 원의 방정식을 표준형으로 고쳐 중심 C와 반지름을 확인하세요. 그리고 접선의 기본 성질, 즉 중심과 접점을 이은 반지름은 접선과 수직이라는 사실을 그림에 직각 표시로 옮겨 적으세요. 그러면 삼각형 CAP는 A가 직각인 직각삼각형이 됩니다.
다음으로 대칭을 보세요. 두 접점 A, B는 직선 CP에 대해 서로 대칭이므로 AB는 CP와 수직으로 만나고, 그 교점을 Q라 하면 AB=2AQ입니다. 결국 구할 것은 AB가 아니라 AQ 하나입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
AQ는 직각삼각형 CAP에서 빗변 CP에 내린 높이입니다. 높이를 구하는 표준 도구는 넓이를 두 가지로 세는 것입니다. 즉 ½ × AP × AC 와 ½ × CP × AQ 를 같다고 놓으세요.
필요한 재료는 AC(=반지름), CP(=두 점 사이의 거리), AP(=피타고라스 정리로 √(CP²−AC²))의 세 가지뿐입니다. 마지막에 유리화를 잊지 말고, 구한 값이 AQ임을 확인한 뒤 2배해서 AB를 만드세요.
정답 확인
정답 ③ AB = 8√55
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A중심의 좌표와 반지름, 그리고 CP 구하기
x²+y²+4x−2y+1=0에서 (x+2)²+(y−1)²=4이므로 중심은 C(−2, 1), 반지름의 길이는 2입니다. 접점까지의 거리는 반지름과 같으므로 AC=2이고, CP=√{(2+2)²+(3−1)²}=√20=2√5입니다.
STEP B접선의 길이 AP 구하기
반지름 CA와 접선 AP는 서로 수직이므로 삼각형 CAP는 A가 직각인 직각삼각형입니다. 따라서 AP=√(CP²−AC²)=√(20−4)=4입니다.
STEP C넓이를 두 번 세어 AQ, 그리고 AB 구하기
CP와 AB의 교점을 Q라 하면 AB⊥CP이므로 AQ는 직각삼각형 PAC에서 빗변에 내린 높이입니다.
( i ) 직각을 낀 두 변으로 — 넓이 = ½ × AP × AC = ½ × 4 × 2 = 4
( ii ) 빗변과 높이로 — 넓이 = ½ × CP × AQ = ½ × 2√5 × AQ = √5 · AQ
두 값을 같다고 놓으면 √5·AQ=4에서 AQ=4√5=4√55이고, 따라서 AB=2AQ=8√55입니다.
1등급 다른 풀이 · 두 접점을 지나는 직선을 먼저 구하기
두 접점 A, B를 지나는 직선의 방정식을 곧바로 쓸 수 있으면, AB는 평범한 ‘현의 길이’ 문제로 내려갑니다. 원 (x+2)²+(y−1)²=4에 대해 점 P(2, 3)에서 그은 두 접선의 접점을 지나는 직선은 (2+2)(x+2)+(3−1)(y−1)=4, 정리하면 2x+y+1=0입니다.
이제 중심 C(−2, 1)에서 이 직선까지의 거리를 재면 |−4+1+1|/√5=2√5이고, 현의 길이 공식 2√(r²−d²)에 넣으면 2√(4−4/5)=2√(16/5)=8√55로 같은 답이 나옵니다. 넓이를 두 번 세는 대신 ‘중심에서 현까지의 거리’라는 익숙한 도구 하나로 마무리하는 접근입니다.
삼각비를 쓰면 더 짧습니다. 삼각형 CAP에서 sin(∠APC)=AC/CP=2/(2√5)=1/√5이고, AB=2 × AP × sin(∠APC)=2 × 4 × 1/√5=8√55입니다.
실수를 줄이는 전략
- 가장 흔한 함정은 AP를 답으로 고르는 것입니다. AP=4가 그대로 보기 ②에 놓여 있습니다. 묻는 것은 접선의 길이가 아니라 두 접점을 잇는 현 AB임을 문제로 돌아가 한 번 더 확인하세요.
- 두 번째 함정은 2배를 잊는 것입니다. 넓이 등식에서 나오는 값은 AQ이지 AB가 아닙니다. AQ=4√5/5까지 구한 뒤 반드시 두 배 하세요.
- 넓이를 두 번 셀 때 변을 짝짓는 방식에 주의하세요. 한 번은 직각을 낀 두 변(AP, AC), 다른 한 번은 빗변(CP)과 그 위의 높이(AQ)입니다. AP와 CP를 섞으면 등식 자체가 무너집니다.
- 유리화를 끝까지 하세요. 4/√5를 그대로 두면 보기와 형태가 달라 다른 답을 고르기 쉽습니다. 8/√5=8√5/5입니다.
- 표준형 변환에서 우변이 4임을 확인하세요. 반지름을 4로 잘못 잡으면 CP²−AC²이 음수가 되어 애초에 접선이 그어지지 않는 상황이 됩니다. 계산 도중 루트 안이 음수가 되면 반지름부터 다시 보세요.
엄선된 풀이 영상
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