TOUGH
내접원
두 점 사이의 거리
정삼각형의 내심
출제의도
세 꼭짓점이 주어진 삼각형의 내접원 방정식을 구하는 문항입니다. 내심은 세 변에 이르는 거리가 같은 점이라 일반적인 삼각형에서는 각의 이등분선을 세우거나 점과 직선 사이의 거리 공식을 두 번 써야 해서 계산이 꽤 무겁습니다. 그런데 이 문제는 그 무거운 길로 들어가기 전에 삼각형의 모양을 먼저 판별하라는 신호를 숨겨두었습니다.
세 점의 좌표가 −6, 6, 6√3처럼 유난히 정돈된 값이라는 점이 힌트입니다. 두 점 사이의 거리를 세 번만 재보면 세 변이 모두 12로 같아 정삼각형임이 드러나고, 그 순간 내심은 무게중심과 겹치면서 좌표가 평균 한 번으로 끝납니다. TOUGH 배지가 붙은 이유는 계산량이 아니라 계산을 시작하기 전에 구조를 확인하는 습관을 묻기 때문입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
내심 공식을 떠올리기 전에, 세 변의 길이부터 재보세요. AB는 두 점이 모두 x축 위에 있으니 암산으로 나오고, BC와 CA는 두 점 사이의 거리 공식으로 한 번씩만 계산하면 됩니다.
세 값을 나란히 적어 놓으면 이 삼각형이 어떤 삼각형인지가 바로 보입니다. 그 모양이 확인되는 순간, 고1 과정에서 다루기 어려운 ‘내심의 좌표’가 중학교 때 배운 다른 중심의 좌표와 같아진다는 사실을 떠올려 보세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
세 변이 모두 12로 같으므로 삼각형 ABC는 정삼각형이고, 정삼각형에서는 내심·외심·무게중심이 모두 한 점에서 만납니다. 따라서 내심의 좌표는 세 꼭짓점의 x좌표 평균, y좌표 평균으로 구할 수 있습니다.
중심을 찾았다면 반지름이 남습니다. 여기서 A와 B가 모두 x축 위에 있다는 점, 즉 밑변 AB가 곧 x축이라는 점이 결정적입니다. 원이 x축에 접하므로 반지름은 중심의 y좌표의 절댓값과 같습니다. 마지막으로 문제가 묻는 것이 r인지 r²인지 다시 한 번 확인하세요.
정답 확인
정답 ④ a+b+r² = 12+2√3
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A세 변의 길이로 삼각형의 모양 결정
A(−6, 0), B(6, 0), C(0, 6√3)에 대하여 AB=|6−(−6)|=12입니다. BC=√{(0−6)²+(6√3−0)²}=√(36+108)=√144=12, CA=√{(−6−0)²+(0−6√3)²}=√(36+108)=12입니다.
세 변의 길이가 모두 12로 같으므로 삼각형 ABC는 한 변의 길이가 12인 정삼각형입니다.
STEP B내심=무게중심을 이용해 원의 방정식 구하기
정삼각형에서는 내심과 무게중심이 일치하므로 내심의 좌표는
( (−6+6+0)/3 , (0+0+6√3)/3 ) = (0, 2√3)
입니다. 이 원은 밑변 AB가 놓인 x축에 접하므로 반지름은 중심의 y좌표와 같아 r=2√3입니다. 따라서 내접원의 방정식은 x²+(y−2√3)²=(2√3)², 즉 x²+(y−2√3)²=12입니다.
STEP Ca+b+r²의 값 계산
(x−a)²+(y−b)²=r²과 비교하면 a=0, b=2√3, r²=12입니다. 그러므로 a+b+r²=0+2√3+12=12+2√3입니다.
1등급 다른 풀이 · 넓이 공식과 각의 이등분선
정삼각형임을 알아채지 못했더라도 답에 이르는 길은 있습니다. 삼각형의 넓이를 S, 둘레의 절반을 s라 하면 내접원의 반지름은 r=S/s입니다. 여기서 밑변 AB=12, 높이는 C의 y좌표인 6√3이므로 S=½×12×6√3=36√3이고, s=(12+12+12)/2=18이므로 r=36√3/18=2√3이 바로 나옵니다. 이 공식은 삼각형의 모양과 무관하게 늘 성립하므로 내신 서술형에서 특히 유용합니다.
중심의 위치는 대칭으로 잡으면 편합니다. 삼각형이 y축에 대해 대칭이므로 내심은 반드시 y축 위, 즉 (0, b) 꼴입니다. 여기에 꼭짓점 A(−6, 0)에서의 각이 60°이고 내심은 그 각의 이등분선 위에 있으므로 기울기가 tan30°=1/√3인 직선 y=(x+6)/√3을 그린 뒤 x=0을 대입하면 b=6/√3=2√3을 얻습니다. 계산 두 줄로 중심과 반지름이 동시에 확정되는 셈입니다.
실수를 줄이는 전략
- 내심과 무게중심이 같아지는 것은 정삼각형일 때뿐입니다. 이등변삼각형에서는 ‘대칭축 위에 있다’까지만 말할 수 있고 두 점은 서로 다릅니다. 모양을 확인하지 않고 평균부터 계산하는 습관은 위험합니다.
- 반지름을 ‘중심의 y좌표’로 읽으려면 원이 x축에 접한다는 근거가 있어야 합니다. 이 문제에서는 A, B가 모두 x축 위에 있어 밑변이 곧 x축이기 때문에 성립합니다.
- 문제가 묻는 것은 r이 아니라 r²입니다. r=2√3까지만 구하고 그대로 더하면 답이 완전히 달라집니다. 선택지에 11, 12, 13이 나란히 있는 것은 이 지점을 노린 배치입니다.
- BC, CA를 계산할 때 (6√3)²=36×3=108을 108이 아닌 18이나 36으로 잘못 처리하는 실수가 잦습니다. 근호 안의 계수는 제곱하면 함께 제곱된다는 점을 확인하세요.
- 답의 형태로 검산할 수 있습니다. 중심이 y축 위이므로 a=0, 즉 정답에 붙는 무리수 부분은 b에서만 나옵니다. 무리수 항이 2√3 하나뿐인 선택지를 먼저 골라두면 후보가 ②, ④로 좁혀집니다.
엄선된 풀이 영상
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