최다빈출 왕중요
TOUGH
아폴로니우스의 원
원의 접선
각의 최댓값
출제의도
앞 문항과 같은 아폴로니우스의 원에서 출발하지만, 묻는 것이 길이가 아니라 각의 최댓값이라는 점이 결정적으로 다릅니다. 점 P가 원 위를 움직일 때 ∠POA가 가장 커지는 순간은 반직선 OP가 그 원에 접할 때이며, 이 한 문장을 떠올리느냐가 문항 전체의 난이도를 가릅니다.
접하는 순간을 잡고 나면 중심과 접점, 원점이 만드는 직각삼각형에서 피타고라스 정리 한 줄로 끝납니다. 자취 → 접선 → 직각삼각형으로 이어지는 세 단계의 번역이 이 문항의 실체입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 P가 어디를 움직이는지부터 확정하세요. 원점 O와 A(3, 0)으로부터의 거리의 비가 2 : 1이므로 OP : AP = 2 : 1, 즉 OP = 2·AP입니다. P(x, y)로 놓고 양변을 제곱해 정리하면 원 하나가 나옵니다.
그 원을 좌표평면에 그려 보면 원점 O가 원의 바깥에 있다는 것이 보일 것입니다. 원 밖의 한 점에서 원 위의 점을 바라볼 때 시선의 각이 언제 최대가 되는지 떠올려 보세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
자취는 (x−4)²+y²=4, 즉 중심 C(4, 0), 반지름 2인 원입니다. ∠POA는 반직선 OP와 x축이 이루는 각이므로, OP가 원을 뚫고 지나갈 때보다 원에 살짝 스치듯 접할 때 각이 가장 벌어집니다.
접점을 P라 하면 접선의 성질에 의해 CP ⊥ OP이므로 삼각형 OCP는 직각삼각형입니다. OC와 CP의 길이를 그림에서 읽어내고 피타고라스 정리를 쓰면 OP가 나옵니다. 여기서 CP는 반지름임을 잊지 마세요.
정답 확인
정답 ② OP = 2√3
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A점 P의 자취를 식으로 옮기기
O(0, 0), A(3, 0)에 대하여 P(x, y)라 하면 OP : AP = 2 : 1이므로 OP = 2·AP, 양변을 제곱하면 OP²=4·AP²입니다.
OP²=x²+y², AP²=(x−3)²+y²를 대입하면
4{(x−3)²+y²} = x²+y² → 3x²+3y²−24x+36=0 → x²+y²−8x+12=0
STEP B자취가 어떤 원인지 확인하기
완전제곱으로 고치면 (x−4)²+y²=4이므로 점 P는 중심 C(4, 0), 반지름 2인 원 위를 움직입니다. 이 원은 x축과 (2, 0), (6, 0)에서 만나고, 원점 O는 원의 바깥에 있습니다.
STEP C∠POA가 최대일 때의 OP 구하기
∠POA는 반직선 OP가 x축과 이루는 각입니다. P가 원 위를 움직이는 동안 이 각은 OP가 원에 접할 때 최대가 됩니다.
접선의 성질에 의해 접점 P에서 CP ⊥ OP이므로 삼각형 OCP는 직각삼각형이고, OC=4, CP=2(반지름)이므로 피타고라스 정리에서
OP = √(OC²−CP²) = √(4²−2²) = √12 = 2√3
1등급 다른 풀이 · 지름 양 끝으로 잡고 각을 sin으로 읽기
자취를 구하는 앞부분은 아폴로니우스 원의 정의로 건너뛸 수 있습니다. OP : AP = 2 : 1이므로 선분 OA를 2 : 1로 내분하는 점 (2, 0)과 외분하는 점 2·3−1·02−1 = 6, 즉 (6, 0)이 지름의 양 끝입니다. 따라서 중심은 중점 (4, 0), 반지름은 6−22 = 2로 즉시 확정됩니다.
각의 최댓값도 삼각비로 읽으면 값이 함께 나옵니다. 접할 때 삼각형 OCP는 ∠OPC=90°인 직각삼각형이므로
sin(∠POA) = CPOC = 24 = 12 → ∠POA = 30°
즉 시선이 벌어질 수 있는 한계는 30°이고, 이때 OP = OC·cos30° = 4×√32 = 2√3입니다. 각의 크기까지 함께 얻을 수 있어, ‘최대각을 구하시오’로 물음이 바뀌어도 그대로 대응됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 비의 방향을 뒤집지 마세요. ‘원점 O와 점 A로부터의 거리의 비가 2 : 1’은 OP : AP = 2 : 1, 즉 OP=2·AP입니다. AP=2·OP로 쓰면 원이 원점 쪽으로 옮겨 가 답이 달라집니다.
- 제곱한 뒤 x², y²의 계수 3으로 반드시 나누고 완전제곱하세요. 계수를 남긴 채 정리하면 중심과 반지름을 잘못 읽게 됩니다.
- 각이 최대인 위치를 P가 원의 맨 위(4, 2)일 때로 착각하는 실수가 가장 많습니다. 원의 최고점은 y좌표가 최대일 뿐, 원점에서 본 각이 최대인 점이 아닙니다. 각은 접할 때 최대입니다.
- 직각삼각형의 빗변을 혼동하지 마세요. 직각은 접점 P에 있으므로 빗변은 OC=4이고, OP=√(OC²−CP²)입니다. OP=√(OC²+CP²)로 쓰면 2√5가 나옵니다.
- 원점이 원의 바깥에 있어야 접선이 존재합니다. OC=4 > 반지름 2이므로 이 문항은 성립하지만, 원점이 원 내부에 놓이는 변형에서는 각의 최댓값이 존재하지 않으므로 위치 관계를 먼저 확인하세요.
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