TOUGH
아폴로니우스의 원
자취의 방정식
삼각형 넓이의 최댓값
출제의도
이 문항은 두 점으로부터의 거리의 비가 일정한 점의 자취, 이른바 아폴로니우스의 원을 묻습니다. 문제에 좌표가 하나도 주어져 있지 않다는 점이 핵심입니다. ‘평면 위에서’라는 표현은 곧 좌표를 내가 편한 대로 잡아도 된다는 허가이며, 이 판단을 못 하면 손을 대기가 어렵습니다.
자취가 원이라는 사실을 얻고 나면 뒷부분은 도형 문제로 바뀝니다. 밑변 AB의 길이는 5로 고정이므로 넓이의 최댓값은 높이의 최댓값 하나로 결정되고, 그 높이는 원의 반지름입니다. 식을 세우는 힘과 그림으로 마무리하는 힘을 함께 보는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
좌표가 주어지지 않았으니 직접 잡으세요. 계산이 가장 편해지는 배치는 A(0, 0), B(5, 0)입니다. AB를 x축 위에 올려 두면 나중에 ‘높이’가 곧 점 P의 y좌표의 절댓값이 되어 마무리가 쉬워집니다.
비례식 AP : BP = 2 : 3은 그대로 쓰기 어렵습니다. 3·AP = 2·BP로 고쳐 쓴 뒤 양변을 제곱해 루트를 없애는 것이 정석입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
P(x, y)로 놓고 9·AP²=4·BP²에 AP²=x²+y², BP²=(x−5)²+y²를 대입하면 x², y²의 계수가 5로 같아지므로 원의 방정식이 나옵니다. 5로 나눈 뒤 완전제곱으로 정리해 중심과 반지름을 찾으세요.
마지막은 넓이입니다. 밑변 AB=5는 고정이므로 넓이가 최대인 순간은 높이가 최대인 순간입니다. 중심이 x축 위에 있으므로 x축(=직선 AB)까지의 거리가 가장 먼 점은 원의 맨 위이고, 그때 높이는 정확히 반지름과 같습니다.
정답 확인
정답 15
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A좌표를 잡고 P의 자취를 식으로 옮기기
AB=5이므로 A(0, 0), B(5, 0)으로 놓아도 일반성을 잃지 않습니다. P(x, y)라 하면 AP : BP = 2 : 3에서 3·AP = 2·BP이고, 양변을 제곱하면 9·AP²=4·BP²입니다.
AP²=x²+y², BP²=(x−5)²+y²를 대입하면
9(x²+y²) = 4{(x−5)²+y²} → 5x²+5y²+40x−100=0 → x²+y²+8x−20=0
STEP B자취가 어떤 원인지 확인하기
x²+y²+8x−20=0을 완전제곱으로 고치면 (x+4)²+y²=36이므로, 점 P는 중심 (−4, 0), 반지름 6인 원 위를 움직입니다. 이 원은 x축과 (−10, 0), (2, 0)에서 만납니다.
STEP C넓이의 최댓값 구하기
삼각형 ABP에서 밑변 AB=5는 고정이므로 넓이는 높이에만 좌우됩니다. 높이는 점 P에서 직선 AB(x축)까지의 거리, 즉 |y|입니다.
원의 중심 (−4, 0)이 x축 위에 있으므로 |y|의 최댓값은 곧 반지름 h=6이고, 이때 P는 (−4, 6)입니다. 따라서
삼각형 ABP의 넓이의 최댓값 = 12 × 5 × 6 = 15
1등급 다른 풀이 · 내분점과 외분점으로 원을 즉시 잡기
아폴로니우스의 원에는 계산을 건너뛰는 정의가 하나 더 있습니다. AP : BP = m : n인 점 P의 자취는 선분 AB를 m : n으로 내분하는 점과 외분하는 점을 지름의 양 끝으로 하는 원입니다.
이 문항에서 m : n = 2 : 3이므로, A(0, 0), B(5, 0)에 대하여 내분점은 (2, 0), 외분점은 2·5−3·02−3 = −10, 즉 (−10, 0)입니다. 두 점 (−10, 0), (2, 0)을 지름의 양 끝으로 하는 원이므로 중심은 그 중점인 (−4, 0), 반지름은 2−(−10)2 = 6. 제곱과 전개 없이 STEP A·B가 한 줄로 끝납니다.
넓이도 그림으로 읽으면 더 빠릅니다. 밑변을 x축 위의 선분 AB로 고정해 두면 점 P가 원 위를 한 바퀴 도는 동안 높이는 0에서 반지름까지 오르내립니다. 최댓값이 반지름이라는 사실만 알면 12×5×6은 암산입니다.
실수를 줄이는 전략
- 비례식을 등식으로 옮길 때 안쪽과 바깥쪽을 바꾸지 마세요. AP : BP = 2 : 3은 3·AP = 2·BP입니다. 2·AP = 3·BP로 쓰면 원의 중심이 반대쪽(B 바깥)으로 튀어 답이 완전히 달라집니다.
- 좌표를 직접 잡을 때는 계산이 편한 위치를 고르세요. A(0,0), B(5,0)이 아니라 A(1,2) 같은 좌표로 시작하면 답은 같아도 전개가 몇 배로 늘어납니다.
- 제곱하기 전에 루트를 남긴 채 이항하지 마세요. 3√(x²+y²)=2√((x−5)²+y²) 형태에서 곧바로 양변을 제곱해야 부호 문제가 생기지 않습니다.
- 완전제곱 과정에서 상수 이동을 놓치기 쉽습니다. x²+8x는 (x+4)²−16이므로, 오른쪽으로 넘길 때 20+16=36이 되어야 합니다. 20을 그대로 두고 반지름을 √20으로 답하는 실수가 가장 흔합니다.
- 높이의 최댓값이 반지름이 되는 이유는 원의 중심이 밑변 위에 있기 때문입니다. 중심이 직선 AB 밖에 있는 유형에서는 (중심에서 직선까지의 거리)+(반지름)이 최댓값이 되므로, 이 조건을 매번 확인하는 습관이 필요합니다.
엄선된 풀이 영상
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