TOUGH
2019년 09월 고1 학력평가 21번
삼각형의 내심
점과 직선 사이의 거리
절댓값 방정식
출제의도
내심을 좌표평면 위에서 다루는 대표 문항입니다. 중학교에서 배운 ‘내심은 세 각의 이등분선의 교점’이라는 정의를, 고등학교에서 배운 점과 직선 사이의 거리 공식으로 번역할 수 있는지를 묻습니다. 내심의 또 다른 성질인 ‘세 변에 이르는 거리가 모두 같다’가 곧 거리 공식 두 개를 등식으로 놓는 근거가 됩니다.
진짜 난이도는 절댓값 처리에 있습니다. |A|=|B|는 A=B와 A=−B 두 경우로 갈라지고, 두 경우 모두 방정식으로서는 성립합니다. 그러나 그중 하나는 내심이 아니라 삼각형 바깥의 점(방심)을 가리키므로, 조건 0<a<10 같은 위치 조건으로 반드시 걸러내야 합니다. 식을 다 세우고도 마지막 판별에서 무너지는 학생이 많아 학력평가 21번에 배치된 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
점 P가 ‘내접하는 원의 중심’이라는 말을 거리 언어로 바꿔 적어 보세요. 내접원은 세 변에 모두 접하므로, P에서 세 직선 AB, BC, CA에 이르는 거리가 모두 반지름과 같습니다.
그러려면 먼저 세 직선의 방정식이 필요합니다. 두 점을 지나는 직선을 세 번 구해 Ax+By+C=0 꼴로 정리해 두세요. 정리해 놓고 계수를 비교하면 두 직선의 기울기가 ½과 −½이라는 점이 눈에 들어올 텐데, 이 대칭이 뒤에서 계산을 크게 줄여 줍니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
P(a, b)로 놓고 거리 공식을 씁니다. 세 직선 중 두 쌍만 처리하면 충분합니다. 먼저 직선 AB와 BC까지의 거리를 같다고 놓으면 분모가 √5로 같아 소거되어 |a−2b−6|=|a+2b+6| 꼴이 되고, 여기서 b가 결정됩니다. 다음으로 BC와 CA까지의 거리를 같다고 놓으면 |a|=|2a−15| 꼴이 되어 a가 결정됩니다.
절댓값을 벗길 때마다 근이 두 개씩 나온다는 점을 기억하세요. 그중 하나는 삼각형 내부라는 조건에 맞지 않아 버려야 합니다. 세 점의 x좌표가 0, 6, 10이므로 내부의 점이라면 0<a<10이어야 한다는 것이 판별 기준입니다. 마지막에 묻는 것은 반지름이 아니라 원점에서 P까지의 거리 OP임을 잊지 마세요.
정답 확인
정답 ④ OP = √34
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A세 직선 AB, BC, CA의 방정식 구하기
A(6, 0), B(0, −3)을 지나는 직선을 l이라 하면 기울기가 ½이므로 y=½x−3, 즉 l : x−2y−6=0입니다.
B(0, −3), C(10, −8)을 지나는 직선을 m이라 하면 기울기가 −½이므로 y=−½x−3, 즉 m : x+2y+6=0입니다.
C(10, −8), A(6, 0)을 지나는 직선을 n이라 하면 기울기가 −2이므로 y=−2x+12, 즉 n : 2x+y−12=0입니다.
STEP B두 직선 l, m에서 같은 거리라는 조건으로 b 구하기
P(a, b)에서 l과 m까지의 거리가 같으므로 |a−2b−6|/√5 = |a+2b+6|/√5, 즉 |a−2b−6|=|a+2b+6|입니다.
( i ) a−2b−6 = a+2b+6 — 4b=−12이므로 b=−3
( ii ) a−2b−6 = −(a+2b+6) — 2a=0이므로 a=0인데, 이는 삼각형 외부(변 위)의 점이므로 제외
따라서 0<a<10이라는 조건에 의해 b=−3으로 확정됩니다.
STEP C두 직선 m, n에서 같은 거리라는 조건으로 a 구하기
P(a, −3)에서 m과 n까지의 거리가 같으므로 |a+2×(−3)+6|/√5 = |2a+(−3)−12|/√5, 즉 |a|=|2a−15|입니다.
( iii ) a = 2a−15 — a=15이지만 삼각형 외부의 좌표이므로 제외
( iv ) a = −(2a−15) — 3a=15이므로 a=5
0<a<10이므로 a=5입니다.
STEP D선분 OP의 길이 구하기
점 P의 좌표는 P(5, −3)이므로 OP=√{5²+(−3)²}=√34입니다.
1등급 다른 풀이 · 대칭으로 b를 먼저 잡고 세 변으로 검산하기
직선 l과 m은 모두 점 B(0, −3)을 지나고 기울기가 각각 ½, −½로 부호만 반대입니다. 이는 두 직선이 B를 지나는 수평선 y=−3에 대해 대칭이라는 뜻이고, 곧 y=−3이 각 B의 이등분선입니다. 내심은 각의 이등분선 위에 있으므로 계산 없이 b=−3이 바로 확정됩니다. STEP B의 절댓값 처리를 통째로 건너뛰는 관찰입니다.
답을 얻은 뒤에는 세 변의 길이로 검산해 보세요. AB=√(36+9)=3√5, CA=√(16+64)=4√5, BC=√(100+25)=5√5이므로 세 변의 비가 3 : 4 : 5, 즉 각 A가 직각인 직각삼각형입니다. 직각삼각형의 내접원 반지름은 r=(두 직각변의 합−빗변)/2 = (3√5+4√5−5√5)/2 = √5입니다. 실제로 P(5, −3)에서 직선 l까지의 거리는 |5+6−6|/√5=5/√5=√5로 일치하므로, 좌표와 반지름이 동시에 검증됩니다.
실수를 줄이는 전략
- |A|=|B|를 풀 때 A=−B 경우를 반드시 함께 적으세요. 한쪽만 처리하면 나온 값이 우연히 내심일 수도, 방심일 수도 있습니다. 두 경우를 모두 적고 위치 조건으로 고르는 것이 정석입니다.
- 버려지는 근에도 의미가 있습니다. a=0, a=15는 각의 외각 이등분선의 교점, 즉 방심에 해당합니다. ‘틀린 값’이 아니라 ‘다른 점’이라는 것을 알면 왜 걸러야 하는지가 명확해집니다.
- 내부 조건은 반드시 좌표로 구체화하세요. 이 문제에서는 세 꼭짓점의 x좌표가 0, 6, 10이므로 0<a<10이 판별 기준이 됩니다. 그림을 대충 그려 놓고 눈대중으로 고르면 위험합니다.
- 세 직선 중 두 쌍만 쓰면 충분합니다. 세 번째 등식은 앞의 두 개에서 자동으로 따라오므로, 굳이 세 번 계산하면 시간만 잃습니다.
- 마지막에 묻는 것이 무엇인지 다시 읽으세요. 내심의 좌표 P(5, −3)이나 반지름 √5가 아니라 OP의 길이가 답입니다. 선택지에 √30, 4√2, 6 등이 나란히 있어 중간값을 그대로 고르기 쉽습니다.
엄선된 풀이 영상
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