TOUGH
최다빈출 · 왕중요
축에 접하는 원
절댓값 방정식
경우 분류
출제의도
‘x축과 y축에 동시에 접한다’는 조건을 식으로 옮길 수 있는지를 묻는 최다빈출 유형입니다. 축에 접하는 원의 반지름은 중심에서 그 축까지의 거리, 즉 중심 좌표의 절댓값입니다. 두 축에 모두 접하면 |중심의 x좌표|=|중심의 y좌표|=(반지름)이라는 등식이 자동으로 따라오고, 여기에 중심이 곡선 y=x²−12 위에 있다는 조건을 얹으면 미지수 하나짜리 방정식이 완성됩니다.
이 문항이 어려운 지점은 방정식을 세운 다음입니다. 문제가 묻는 것은 어느 한 원이 아니라 조건을 만족하는 모든 원이고, 절댓값 방정식 |a|=|a²−12|는 두 개의 이차방정식으로 갈라져 근이 네 개나 나옵니다. 한 경우만 처리하면 답이 절반으로 줄고, 반지름을 a가 아니라 |a|로 잡지 않으면 음수가 섞여 합이 어긋납니다. 빠짐없이 세고, 부호를 정확히 처리하는 두 가지를 동시에 요구하는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 중심을 미지수 하나로 표현하세요. 중심이 곡선 y=x²−12 위에 있으므로 x좌표를 a라 하면 중심은 (a, a²−12)로 놓을 수 있습니다.
다음으로 ‘축에 접한다’를 거리로 바꿔 적어 봅니다. 원이 y축에 접하면 반지름은 중심의 x좌표의 절댓값, x축에 접하면 반지름은 중심의 y좌표의 절댓값입니다. 두 축에 동시에 접한다면 이 두 값이 서로 같아야 합니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
조건은 |a|=|a²−12|로 정리됩니다. 절댓값이 양쪽에 있으므로 a=a²−12인 경우와 a=−(a²−12)인 경우로 나누어, 각각 이차방정식을 인수분해하세요. 두 이차방정식 모두 계수가 정수라 근이 깔끔하게 떨어집니다.
근을 네 개 모았다면 마지막 관문은 반지름의 값입니다. 반지름은 a가 아니라 |a|이므로 음수 근에서도 양수 반지름이 나옵니다. 네 원의 중심을 좌표평면에 대략 찍어 보면 각 사분면에 하나씩 놓이는 그림이 보이는데, 그림으로 개수를 확인해 두면 빠뜨림을 막을 수 있습니다.
정답 확인
정답 모든 원의 반지름의 합 = 14
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A중심을 (a, a²−12)로 놓고 조건식 세우기
중심이 곡선 y=x²−12 위에 있으므로 중심의 좌표를 (a, a²−12)라 할 수 있습니다. 이 원이 y축에 접하므로 반지름은 |a|, x축에 접하므로 반지름은 |a²−12|입니다. 두 값이 같아야 하므로 |a|=|a²−12|가 성립합니다.
STEP B절댓값을 벗겨 두 경우로 분류하기
( i ) a = a²−12 — a²−a−12=0, (a−4)(a+3)=0이므로 a=4 또는 a=−3
중심 (4, 4)이고 반지름 4인 원 (x−4)²+(y−4)²=16, 중심 (−3, −3)이고 반지름 3인 원 (x+3)²+(y+3)²=9
( ii ) a = −(a²−12) — a²+a−12=0, (a+4)(a−3)=0이므로 a=−4 또는 a=3
중심 (−4, 4)이고 반지름 4인 원 (x+4)²+(y−4)²=16, 중심 (3, −3)이고 반지름 3인 원 (x−3)²+(y+3)²=9
조건을 만족하는 원은 모두 네 개입니다.
STEP C모든 원의 반지름의 합 구하기
네 원의 반지름은 각각 4, 3, 4, 3입니다. 따라서 반지름의 길이의 합은 4+3+4+3=14입니다.
1등급 다른 풀이 · 두 직선과 곡선의 교점으로 읽기
절댓값 방정식을 풀지 않고도 같은 결론에 갈 수 있습니다. x축과 y축에 동시에 접하는 원은 |x좌표|=|y좌표|를 만족하므로, 중심은 반드시 직선 y=x 또는 y=−x 위에 놓입니다. 그렇다면 구하는 중심은 곡선 y=x²−12와 이 두 직선의 교점이 됩니다.
y=x와의 교점은 x²−12=x, 즉 x²−x−12=0에서 x=−3 또는 x=4이므로 중심은 (−3, −3), (4, 4)이고 반지름은 3, 4입니다. y=−x와의 교점은 x²−12=−x, 즉 x²+x−12=0에서 x=−4 또는 x=3이므로 중심은 (−4, 4), (3, −3)이고 반지름은 4, 3입니다. 합은 3+4+4+3=14로 같습니다.
이 관점의 장점은 그림으로 개수가 보인다는 것입니다. 아래로 열린 두 직선과 아래로 12만큼 내려온 포물선을 그려 보면 교점이 네 개, 즉 네 사분면에 원이 하나씩 놓이는 대칭 구조가 한눈에 드러나 빠뜨림을 원천적으로 막을 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 반지름은 a가 아니라 |a|입니다. a=−3, a=−4를 그대로 더하면 합이 0이 되어버립니다. 축에 접하는 원의 반지름은 언제나 좌표의 절댓값이라는 점을 식을 세울 때부터 적어 두세요.
- 절댓값 방정식 |A|=|B|는 A=B와 A=−B 두 경우입니다. ( i )만 처리하고 끝내면 4+3=7로 답이 절반이 됩니다. 선택지가 없는 주관식이라 이 실수를 스스로 잡아야 합니다.
- ‘모든 원’이라는 표현에 밑줄을 치세요. 조건을 만족하는 원의 개수를 먼저 확정한 뒤 계산에 들어가는 것이 안전합니다. 여기서는 네 개입니다.
- 중심이 원점에 오는 경우, 즉 반지름이 0이 되는 근은 원이 아니므로 제외해야 합니다. 이 문제에서는 a=0이 방정식을 만족하지 않아 해당 사항이 없지만, 곡선이 원점을 지나는 유형에서는 반드시 점검 대상입니다.
- 네 개의 근이 서로 다른지도 확인하세요. −4, −3, 3, 4로 모두 다르므로 네 원이 실제로 서로 다른 원입니다. 두 이차방정식이 공통근을 갖는 유형에서는 중복을 한 번만 세어야 합니다.
엄선된 풀이 영상
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