최다빈출 왕중요
TOUGH
자취의 방정식
삼각형의 무게중심
원의 넓이 이등분
출제의도
이 문항은 움직이는 점 P와 그에 따라 움직이는 무게중심 G의 관계를 자취의 방정식으로 옮기는 문제입니다. 점 P가 원 위를 움직인다는 조건은 P의 좌표가 만족하는 식으로 주어져 있고, 우리가 알고 싶은 것은 G의 좌표가 만족하는 식입니다. 두 좌표를 잇는 다리를 놓고 P를 소거하는 것이 전부입니다.
뒷부분의 ‘직선이 원의 넓이를 이등분한다’는 조건은 직선이 원의 중심을 지난다는 한 문장으로 끝납니다. 자취 문제와 원의 성질을 한 문항에 겹쳐 놓았기 때문에, 앞에서 중심을 잘못 구하면 뒤가 전부 무너지는 구조입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
구하려는 것은 G의 자취이므로 G의 좌표를 (x, y)로 놓는 것에서 출발하세요. 그리고 P의 좌표를 (a, b)라 두면, 조건에서 a²+b²=36이라는 식을 이미 갖고 있는 셈입니다.
이제 필요한 것은 (a, b)를 (x, y)로 바꿔 쓰는 다리입니다. 무게중심 공식으로 x와 y를 a, b로 표현한 뒤, 그 식을 뒤집어 a=…, b=… 꼴로 정리해 두세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
a, b를 x, y로 나타낸 식을 a²+b²=36에 그대로 대입하면 x, y만 남은 식이 되고, 이것이 곧 점 G의 자취인 원입니다. 계수 9가 공통으로 묶여 나오므로 양변을 9로 나누면 표준형이 바로 보입니다.
마지막 조건은 계산할 것이 거의 없습니다. 직선이 원의 넓이를 이등분하려면 원의 중심을 지나면 됩니다. 구한 중심의 좌표를 직선의 방정식에 대입하고 k에 대해 풀면 끝입니다.
정답 확인
정답 ③ k = 13
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A점 P의 좌표를 (a, b)로 놓고 조건식 세우기
점 P는 원 x²+y²=36 위의 점이므로 P(a, b)라 하면 a²+b²=36 …… ㉠ 이 성립합니다. 이 식이 나중에 P를 소거할 때 쓰이는 유일한 근거입니다.
STEP B무게중심 G(x, y)와 (a, b)의 관계 만들기
삼각형 ABP의 무게중심은 세 꼭짓점 좌표의 평균이므로
x = 2+7+a3, y = −10−2+b3
이 두 식을 a, b에 대해 풀면 a=3(x−3), b=3(y+4) …… ㉡ 입니다. ㉡을 ㉠에 대입하면 9(x−3)²+9(y+4)²=36이고, 양변을 9로 나누어
(x−3)²+(y+4)²=4
즉 점 G가 나타내는 도형은 중심 (3, −4), 반지름 2인 원입니다.
STEP C넓이를 이등분하는 조건에서 k 구하기
직선이 원의 넓이를 이등분하려면 원의 중심을 지나야 하므로, 직선 kx−y−5=0에 (3, −4)를 대입합니다.
3k−(−4)−5=0 → 3k+4−5=0 → 3k=1 → k = 13
1등급 다른 풀이 · 닮음변환과 직선다발로 읽기
무게중심 공식을 좌표 하나하나 쓰는 대신, 식 전체를 벡터처럼 한 덩어리로 보면 계산이 거의 사라집니다.
G = A+B+P3 = A+B3 + P3 이고, A+B의 좌표는 (9, −12)이므로 A+B3 = (3, −4)입니다. 즉 G는 P를 원점 기준으로 13배 축소한 뒤 (3, −4)만큼 평행이동한 점입니다. 따라서 P의 자취인 원(중심 O, 반지름 6)은 반지름 6×13=2, 중심 (0,0)→(3,−4)인 원으로 옮겨 갑니다. 대입 계산 없이 중심과 반지름이 확정됩니다.
마지막 단계도 대입하지 않고 읽을 수 있습니다. 직선 kx−y−5=0은 y=kx−5, 즉 k가 어떤 값이든 항상 점 (0, −5)를 지나는 기울기 k의 직선입니다. 이 직선이 중심 (3, −4)를 지나야 하므로 k는 두 점 (0, −5)와 (3, −4)를 잇는 기울기, 곧 −4−(−5)3−0 = 13입니다.
실수를 줄이는 전략
- 자취 문제에서 미지수의 역할을 섞지 마세요. 움직이는 점 P는 (a, b), 구하려는 점 G는 (x, y)로 문자를 분리해야 합니다. 둘 다 (x, y)로 쓰면 대입 과정에서 반드시 꼬입니다.
- 무게중심 식을 뒤집을 때 부호를 조심하세요. y = −12+b3에서 b=3y+12=3(y+4)이며, 여기서 3(y−4)로 잘못 쓰면 중심이 (3, 4)가 되어 답이 달라집니다.
- 양변을 9로 나누는 것을 잊으면 반지름을 6으로 착각하게 됩니다. 다만 이 문항의 답은 중심만 필요하므로 반지름 실수는 결과에 드러나지 않습니다 — 그래서 더 위험합니다. 다른 문항에서 그대로 반복되는 실수입니다.
- ‘넓이를 이등분한다’는 중심을 지난다와 같은 말입니다. 원과 직선의 교점을 구하려고 판별식으로 들어가면 시간만 잃습니다.
- 대입 후 얻은 식이 원이 되려면 반지름의 제곱이 양수여야 합니다. 이 문항은 항상 4로 고정이지만, 상수가 문자로 남는 유형에서는 반드시 확인하고 넘어가세요.
엄선된 풀이 영상
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