TOUGH
자취의 방정식
삼각형의 무게중심
닮음과 넓이비
이 문제가 노리는 것
움직이는 점이 두 개처럼 보이지만 실제로는 하나입니다. B와 C는 고정된 점이고, A가 원 위를 돌면 무게중심 G가 그에 끌려 움직입니다. 이런 구조를 자취(궤적) 문제라 부르고, 해결 순서는 언제나 똑같습니다.
① 구하려는 점을 G(x, y)로 놓는다 → ② 움직이는 원인이 되는 점의 좌표 a, b를 x, y로 표현한다 → ③ a, b가 원래 만족하던 식에 그대로 대입해 a, b를 소거한다. 남은 x, y의 관계식이 곧 자취의 방정식입니다.
이 문항이 TOUGH로 분류된 이유는 계산이 어려워서가 아니라, “무엇을 미지수로 두고 무엇을 소거할지”를 스스로 정해야 하기 때문입니다. 방향만 잡으면 계산은 세 줄이면 끝납니다.
힌트 1단계 — 방향 잡기
먼저 조건을 식으로 옮기세요. 점 A(a, b)가 중심 (4, 6), 반지름 6인 원 위를 움직이므로
(a − 4)² + (b − 6)² = 36
다음으로 구하려는 무게중심 G의 좌표를 (x, y)로 놓고, 무게중심 = 세 꼭짓점 좌표의 평균이라는 공식을 써 보세요. B(2, 1), C(3, 2)는 고정이므로 x와 y는 a, b만으로 표현됩니다.
힌트 2단계 — 관문 넘기
x = (a+2+3)/3, y = (b+1+2)/3에서 이번에는 방향을 거꾸로 돌려 a와 b를 x, y로 나타내세요. a = 3x − 5, b = 3y − 3이 됩니다.
이 둘을 힌트 1단계의 원의 식에 그대로 대입하면 a, b가 사라지고 x, y만 남습니다. 이때 양변을 9로 나누는 정리를 빠뜨리지 않는 것이 관건입니다.
마지막으로 문제가 묻는 것이 반지름이 아니라 넓이라는 점을 확인하세요.
정답 확인 (직접 풀어 본 뒤에 열어 보세요)
④ 4π
해설 이미지
풀이의 흐름 정리
점 A가 움직이는 원의 방정식을 먼저 씁니다. 중심 (4, 6), 반지름 6이므로
(x − 4)² + (y − 6)² = 36
점 A(a, b)가 이 원 위의 점이므로 (a − 4)² + (b − 6)² = 36 ……㉠
삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표를 (x, y)라 하면
x = a+2+33, y = b+1+23 → a = 3x − 5, b = 3y − 3 ……㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
(3x − 5 − 4)² + (3y − 3 − 6)² = 36 → 9(x − 3)² + 9(y − 3)² = 36
양변을 9로 나누어 (x − 3)² + (y − 3)² = 4를 얻습니다. 즉 G가 그리는 도형은 중심 (3, 3), 반지름 2인 원입니다.
반지름이 2인 원의 넓이는 π × 2² = 4π입니다. 따라서 정답은 ④입니다.
1등급을 위한 다른 풀이
대입하지 않고 그림의 구조만으로 답을 내는 길이 있습니다. 선분 BC의 중점을 M이라 하면 M(52, 32)로 고정된 점이고, 무게중심 G는 언제나 선분 AM을 2 : 1로 내분하는 점입니다. 즉
G = M + 13(A − M)
이 식이 뜻하는 바는, A에서 G로 가는 대응이 점 M을 중심으로 하는 닮음비 13의 축소라는 것입니다. 축소 변환은 원을 원으로 보내므로, A의 자취가 반지름 6인 원이면 G의 자취는 반지름 6 × 13 = 2인 원입니다. 넓이는 계산할 것도 없이 4π입니다.
중심의 위치까지 확인하고 싶다면 같은 식에 원의 중심 (4, 6)을 넣으면 됩니다. M + 13{(4, 6) − M} = (52 + 12, 32 + 32) = (3, 3)으로 STEP B의 결과와 정확히 일치합니다.
여기서 얻어 갈 암묵지는 한 문장입니다. 두 꼭짓점이 고정된 삼각형에서 나머지 한 꼭짓점이 어떤 도형을 그리면, 무게중심은 그 도형을 13로 축소한 닮은 도형을 그린다. 길이는 13배, 넓이는 19배입니다. 원이든 직선이든 포물선이든 똑같이 통하므로, 자취가 무엇이냐를 묻는 객관식에서는 이 한 줄로 선택지를 즉시 좁힐 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 넓이의 비는 길이비의 제곱입니다. 닮음비가 13이므로 넓이는 36π × 19 = 4π입니다. 12π(=36π의 13)를 고르는 것이 이 문항의 대표 오답입니다.
- 9(x−3)² + 9(y−3)² = 36에서 양변을 9로 나누는 단계를 빠뜨리면 반지름을 6으로 착각해 36π가 나옵니다. 좌변에 공통인수 9가 보이면 반드시 먼저 나누세요.
- ㉡의 방향을 헷갈리지 마세요. x = a+53이므로 a = 3x − 5입니다. a = x−53처럼 거꾸로 쓰면 이후 전개가 전부 어긋납니다.
- 대입할 때 상수를 두 번 빼야 합니다. 3x − 5에서 다시 4를 빼 3x − 9 = 3(x−3), 3y − 3에서 6을 빼 3y − 9 = 3(y−3)입니다. 3으로 묶는 순간 계산이 깔끔해지니 전개하지 말고 묶으세요.
- 묻는 것이 넓이입니다. 반지름 2나 자취의 방정식에서 멈추면 안 됩니다. 자취 문제는 마지막 질문이 방정식·반지름·넓이·최댓값 중 무엇인지 매번 달라지므로, 답을 쓰기 직전에 문제의 마지막 줄을 다시 읽으세요.
- 고정점 B, C의 좌표를 무게중심 공식에 넣을 때 x끼리, y끼리 짝을 맞추세요. 2와 1, 3과 2를 섞어 넣는 단순 실수가 자취의 중심을 엉뚱한 곳으로 보냅니다.
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