TOUGH
2021년 09월 고1 학력평가 28번
원과 좌표축의 교점
지름에 대한 원주각
중심에서 현에 내린 수선
이 문제가 노리는 것
조건이 두 줄뿐인데도 정답률이 낮은 이유는, 그림에 이미 다 그려져 있는 직각을 아무도 조건으로 읽지 않기 때문입니다. 원이 x축과 y축을 각각 한 번씩 더 만나고 원점을 지난다는 말은, 원 위의 세 점 A, O, B에 대해 ∠AOB = 90°라는 뜻입니다. 이 각이 원주각이므로 그에 대응하는 선분 AB는 지름이고, 따라서 중심 C는 AB의 중점이 됩니다.
이 한 줄을 잡으면 문제 전체가 열립니다. A를 (t, 0)으로 놓는 순간 조건 (가)가 B를 (0, t+4)로 정해 주고, 중심 C는 두 점의 중점이므로 자동으로 t 하나로 표현됩니다. 남은 조건 (나)는 그 C를 y=3x에 대입하는 일차방정식 한 줄입니다. 즉 미지수 하나로 모든 좌표를 표현한 뒤 남은 조건을 대입한다는 것이 이 문항의 골격입니다.
마지막으로 묻는 값이 a+b+r²이라는 점도 설계된 장치입니다. r 대신 r²을 물어야 √10 같은 무리수를 피하면서 피타고라스 정리를 그대로 쓸 수 있기 때문입니다.
힌트 1단계 — 방향 잡기
그림에서 삼각형 AOB의 ∠AOB에 주목하세요. A는 x축 위, B는 y축 위에 있으므로 이 각은 직각입니다.
그런데 세 점 A, O, B는 모두 같은 원 위에 있습니다. 원에 내접하는 삼각형에서 한 각이 90°일 때, 그 각과 마주 보는 변은 원에서 어떤 특별한 선분일까요? 그 사실이 중심 C의 위치에 대해 무엇을 알려 주는지 생각해 보세요.
힌트 2단계 — 관문 넘기
선분 AB가 지름이므로 C는 A와 B의 중점입니다. A의 좌표를 A(t, 0) (t > 0)으로 놓아 보세요. 조건 (가)에서 OB가 OA보다 4만큼 길므로 B의 좌표가 곧바로 정해집니다.
그러면 C의 좌표는 중점 공식으로 t 하나만 남는 꼴이 됩니다. 이제 조건 (나) “C가 직선 y=3x 위에 있다”를 대입하면 t에 대한 일차방정식이 나옵니다.
마지막으로 r²은 원의 중심에서 원점까지의 거리의 제곱, 즉 OC²임을 이용하세요.
정답 확인 (직접 풀어 본 뒤에 열어 보세요)
14
해설 이미지
풀이의 흐름 정리
원에 내접하는 삼각형 AOB에서 ∠AOB = 90°이므로 선분 AB는 지름이고, 중심 C는 AB의 중점입니다.
A(t, 0) (t > 0)이라 하면 OA = t이고, 조건 (가)에서 OB = OA + 4 = t + 4이므로 B(0, t+4)입니다.
따라서 C의 좌표는 C( t2, t+42 )가 됩니다.
조건 (나)에서 C가 직선 y = 3x 위의 점이므로
t+42 = 3 × t2 → t + 4 = 3t → 2t = 4 → t = 2
따라서 A(2, 0), B(0, 6), C(1, 3)이고, 반지름은 OC = √(1² + 3²) = √10입니다.
a = 1, b = 3, r² = 10이므로
a + b + r² = 1 + 3 + 10 = 14
1등급을 위한 다른 풀이
중심이 두 축 절편의 중점이라는 사실을 한 걸음 더 밀어 보면, 미지수를 놓기도 전에 비가 먼저 나옵니다. C의 좌표는 (OA/2, OB/2)이므로, 직선 OC의 기울기는
(OB/2) ÷ (OA/2) = OB : OA의 비와 같습니다.
조건 (나)의 기울기가 3이라는 말은 곧 OB : OA = 3 : 1이라는 뜻입니다. 여기에 조건 (가) OB − OA = 4를 함께 보면, 차이 2칸이 4에 해당하므로 OA = 2, OB = 6이 방정식을 세우지 않고 곧바로 나옵니다. C(1, 3)과 r² = 1+9 = 10도 바로 따라옵니다. 학력평가 28번을 30초 안에 끝내는 관점입니다.
또 하나, 교재의 다른 풀이가 쓰는 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 수직이등분한다는 성질도 반드시 손에 익혀 두세요. 중심 C(a, b)에서 x축, y축에 내린 수선의 발이 각각 (a, 0), (0, b)인데, 이 점들이 현 OA와 OB의 중점이므로 A(2a, 0), B(0, 2b)가 즉시 결정됩니다. 그러면 (가)는 2b−2a=4에서 b−a=2, (나)는 b=3a가 되어 a=1, b=3이 나오고, r²은 직각삼각형 OCH에서 피타고라스 정리로 a²+b²=10입니다. 지름 성질을 잊었을 때 쓰는 안전한 우회로이니 두 길을 모두 갖고 있는 편이 좋습니다.
실수를 줄이는 전략
- 구하는 것은 r이 아니라 r²입니다. √10을 그대로 더해 1+3+√10으로 답하면 아깝게 틀립니다. 문제의 마지막 줄을 다시 읽는 습관을 들이세요.
- 조건 (가)는 OB − OA입니다. y축 쪽이 더 길다는 뜻이므로 b > a입니다. 순서를 뒤집어 OA − OB = 4로 세우면 t가 음수로 나와 제1사분면 조건과 어긋납니다.
- 중심에서 x축에 내린 수선의 발은 x축 위의 현 OA를 이등분합니다. y축 쪽과 짝을 바꿔 쓰면 A와 B의 좌표가 통째로 뒤바뀌니, 수선의 발과 현을 같은 축끼리 짝지어 확인하세요.
- A(2a, 0)에서 OA = 2a이지 a가 아닙니다. 중심의 좌표 a를 그대로 OA로 쓰면 (가)에서 b−a=4가 되어 답이 어긋납니다. “절편은 중심 좌표의 두 배”를 기억하세요.
- 중심이 제1사분면이라는 단서를 마지막에 확인하세요. a > 0, b > 0이어야 하고, 이 조건이 t > 0을 보장합니다. 서술형에서는 이 확인 자체가 채점 요소입니다.
- 지름에 대한 원주각이 90°라는 성질은 역방향으로도 성립합니다. 이 문제는 역방향(직각이므로 지름)을 쓰는 경우이니, 두 방향을 모두 쓸 수 있게 정리해 두세요.
내신연계 출제문항 178
교재가 함께 붙여 둔 변형 문항입니다. 숫자만 바뀌었는데 위에서 정리한 비의 관점이 그대로 통하는지 확인해 보세요.
내신연계 178 풀이 보기
직선 OC의 기울기가 4이므로 OB : OA = 4 : 1입니다. 차이 3칸이 6에 해당하므로 한 칸은 2, 즉 OA = 2, OB = 8입니다.
따라서 A(2, 0), B(0, 8)이고 중심은 그 중점인 C(1, 4)이므로 a = 1, b = 4입니다.
r² = OC² = 1² + 4² = 17이고, a + b + r² = 1 + 4 + 17 = 22입니다.
표준 풀이로 확인하면, A(2a, 0), B(0, 2b)에서 (가) 2b − 2a = 6 → b − a = 3, (나) b = 4a를 연립해 a = 1, b = 4로 같은 값을 얻습니다.
엄선된 풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.