TOUGH
일반형과 표준형
원의 넓이 이등분
내접삼각형의 최대 넓이
이 문제가 노리는 것
겉보기에는 계산 문제처럼 보이지만, 실제로는 말로 주어진 조건을 좌표 조건으로 번역하는 능력을 두 번 연달아 묻습니다.
첫 번째 번역은 “직선이 원의 넓이를 이등분한다”입니다. 원은 중심에 대해 대칭이므로, 원을 넓이가 같은 두 조각으로 자르는 직선은 반드시 중심을 지나는 직선뿐입니다. 이 한 문장을 “중심의 좌표를 직선의 식에 대입하면 성립한다”로 바꿔 쓰는 순간 미지수 a가 결정됩니다.
두 번째 번역은 “삼각형 ABC의 넓이의 최댓값”입니다. A, B는 중심을 지나는 직선과 원의 교점이므로 선분 AB는 지름이고 길이가 고정됩니다. 밑변이 고정되면 넓이는 높이 하나로 결정되고, 높이는 원 위의 점 C에서 지름까지의 거리이므로 최댓값이 곧 반지름입니다. 결국 이 문제는 반지름 하나만 정확히 구하면 끝나는 문제입니다.
힌트 1단계 — 방향 잡기
먼저 원의 방정식을 완전제곱 형태로 바꿔 중심과 반지름을 a로 표현하세요. x에 대해서는 2ax를 보고 (x+a)², y에 대해서는 −4y를 보고 (y−2)²를 만들면 됩니다.
그다음, “넓이를 이등분한다”는 조건이 중심에 대해 무엇을 말하는지 생각해 보세요. 원을 정확히 반으로 나누는 직선은 어떤 직선일까요?
힌트 2단계 — 관문 넘기
a가 결정되면 원이 완전히 정해집니다. 이제 A, B가 어떤 점인지 다시 보세요. 중심을 지나는 직선이 원과 만나는 두 점이므로 선분 AB는 지름입니다.
삼각형 ABC의 넓이는 12×AB×(점 C에서 AB에 내린 수선의 발의 길이)입니다. AB는 고정된 값이니, 남은 것은 점 C가 원 위를 움직일 때 AB까지의 거리가 최대가 되는 순간뿐입니다. C가 중심에서 얼마나 멀어질 수 있는지 생각하면 답이 보입니다.
정답 확인 (직접 풀어 본 뒤에 열어 보세요)
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해설 이미지
풀이의 흐름 정리
원의 방정식을 표준형으로 고쳐 중심과 반지름을 a로 나타냅니다. x²+2ax는 (x+a)²−a², y²−4y는 (y−2)²−4이므로
(x+a)² + (y−2)² = 8 − a²
즉 중심은 (−a, 2), 반지름은 √(8−a²)입니다.
직선이 원의 넓이를 이등분하므로 직선은 원의 중심을 지납니다. 중심 (−a, 2)를 y=x+4에 대입하면 2 = −a + 4, 따라서 a = 2입니다.
이때 반지름은 √(8−4) = 2이고, 원의 방정식은 (x+2)² + (y−2)² = 4입니다. 8−a² = 4 > 0이므로 원이 실제로 존재한다는 것도 함께 확인됩니다.
선분 AB는 지름이므로 AB = 2×2 = 4로 고정입니다. 삼각형 ABC의 넓이는
12 × AB × (점 C에서 선분 AB까지의 거리)
점 C는 원 위의 점이고 AB는 중심을 지나므로, C에서 AB까지의 거리는 최대가 반지름 2입니다. 따라서 넓이의 최댓값은 12 × 4 × 2 = 4입니다.
1등급을 위한 다른 풀이
이 문항은 한 줄짜리 결론으로 압축됩니다. 지름을 한 변으로 하는 원의 내접삼각형에서 넓이의 최댓값은 언제나 r²입니다. 밑변이 2r, 높이의 최댓값이 r이므로 12×2r×r = r²이 되기 때문입니다. 즉 이 문제에서 진짜로 해야 할 일은 반지름 구하기 하나뿐이고, r=2를 얻는 순간 답은 곧바로 4입니다.
여기에 한 가지 더 알아 두면 좋은 사실이 있습니다. 넓이가 최대일 때 점 C는 AB의 수직이등분선과 원이 만나는 점, 즉 지름의 끝점에서 90° 떨어진 위치입니다. 그런데 지름에 대한 원주각은 항상 직각이므로 ∠ACB = 90°이고, 여기에 CA = CB까지 더해지면 삼각형 ABC는 직각이등변삼각형이 됩니다. “최대 넓이일 때는 직각이등변삼각형”이라는 그림을 기억해 두면, 비슷한 문항에서 계산 전에 답의 모양을 먼저 그릴 수 있습니다.
같은 안목으로 STEP B도 줄일 수 있습니다. 직선 y=x+4의 y절편이 4이므로, 중심의 y좌표가 2라는 사실만 보면 중심의 x좌표는 2−4 = −2로 즉시 결정됩니다. 중심이 (−2, 2)이니 −a = −2에서 a=2가 나오고, 완전제곱을 x쪽까지 다 전개하지 않아도 됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 중심의 x좌표는 −a입니다. x²+2ax를 보고 중심을 (a, 2)로 쓰면 2 = a+4에서 a = −2가 되어 부호가 통째로 뒤집힙니다. 일반형 x²+y²+Ax+By+C=0의 중심은 (−A/2, −B/2)라는 규칙으로 검산하세요.
- 반지름은 √(8−a²)이지 8−a²이 아닙니다. a=2를 넣으면 8−4=4이고, 반지름은 4가 아니라 2입니다. 여기서 4를 반지름으로 쓰면 최종 답이 16이 되어 크게 어긋납니다.
- “넓이를 이등분한다”와 “둘레를 이등분한다”는 같은 조건(중심 통과)입니다. 반면 “현을 이등분한다”는 전혀 다른 조건이니 문장을 끝까지 읽고 구분하세요.
- 높이의 최댓값은 반지름이지 지름이 아닙니다. 점 C는 원 위에 있으므로 중심으로부터 최대 r만큼만 떨어질 수 있습니다. 지름 4를 높이로 쓰면 답이 8이 됩니다.
- a를 구한 뒤 8−a² > 0인지 한 번 확인하는 습관을 들이세요. 서술형에서는 원이 존재한다는 확인이 채점 요소가 되는 경우가 있고, 값이 음수로 나오면 조건 자체를 잘못 세운 것입니다.
엄선된 풀이 영상
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