TOUGH
두 직선의 교점
수직 조건
수선의 발
출제의도
이 문항은 ‘두 직선의 교점 구하기 → 두 점을 지나는 직선 구하기 → 수직인 직선 구하기 → 다시 교점 구하기’의 네 단계를 한 줄로 연결하는 문제입니다. 각 단계는 교과서 예제 수준이지만, 앞 단계의 결과가 그대로 다음 단계의 입력이 되기 때문에 어느 한 곳에서 어긋나면 그 뒤는 전부 무너집니다.
TOUGH로 배치된 이유는 발상의 어려움이 아니라 계산의 연쇄입니다. 특히 마지막 교점은 분모 17이 등장하는 분수 좌표라, 여기서 계산을 서두르면 정확히 선지에 있는 다른 값으로 착지하게 됩니다. 수선의 발이 ‘원점을 지나고 l에 수직인 직선과 l의 교점’이라는 정의를 식으로 옮길 수 있는지가 핵심입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
구하려는 것은 ‘원점에서 직선 l에 내린 수선의 발’입니다. 이 점은 결국 두 직선의 교점입니다. 어떤 두 직선일까요? 하나는 직선 l 자신이고, 다른 하나는 원점을 지나면서 l에 수직인 직선입니다.
그러니 순서가 정해집니다. 먼저 직선 l의 방정식을 확정해야 합니다. l은 주어진 두 직선의 교점과 점 (2, 3)을 지나므로, 3x+y−2=0과 x−2y−3=0을 연립해서 교점부터 구하세요. 교점과 (2, 3), 이렇게 두 점이 잡히면 l은 바로 결정됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
연립하면 교점은 (1, −1)이 나옵니다. 두 점 (1, −1), (2, 3)의 기울기를 구해 l의 방정식을 y=(기울기)x+(절편) 꼴로 정리해 두세요. 기울기가 정수로 깔끔하게 나옵니다.
다음은 수직 조건입니다. 기울기의 곱이 −1이므로, 원점을 지나는 수선의 기울기는 l의 기울기의 음의 역수입니다. 원점을 지나므로 y절편은 0, 즉 y=(음의 역수)x 한 줄로 끝납니다.
마지막으로 두 식을 연립합니다. 분수 기울기가 들어가므로 양변에 분모를 곱해 정수 계수로 바꾼 뒤 정리하면 실수가 줄어듭니다. 구한 x가 a, y가 b이고, 문제가 묻는 것은 a나 b가 아니라 a+b라는 점을 마지막까지 기억하세요.
정답 확인
정답 ② a+b = 1517
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 직선의 교점 구하기
3x+y−2=0에서 y=2−3x입니다. 이를 x−2y−3=0에 대입하면 x−2(2−3x)−3=0, 즉 7x−7=0이므로 x=1이고 y=−1입니다. 따라서 교점의 좌표는 (1, −1)입니다.
STEP B직선 l의 방정식 구하기
직선 l은 두 점 (1, −1)과 (2, 3)을 지납니다. 기울기는 (3−(−1))/(2−1)=4이므로 y−3=4(x−2), 정리하면 l : y=4x−5입니다. 일반형으로는 4x−y−5=0입니다.
STEP C원점에서 l에 내린 수선 구하기
l의 기울기가 4이므로 이에 수직인 직선의 기울기는 −14입니다. 원점 O(0, 0)을 지나므로 수선의 방정식은 y=−14x입니다.
STEP D수선의 발의 좌표와 a+b
y=4x−5와 y=−14x를 연립하면 4x−5=−14x입니다. 양변에 4를 곱해 16x−20=−x, 즉 17x=20이므로 x=2017이고, y=−14·2017=−517입니다.
따라서 a=2017, b=−517이므로 a+b=1517입니다.
1등급 다른 풀이 · 직선 다발과 수선의 발 공식
같은 답에 도달하는 두 가지 지름길이 있습니다. 시험장에서는 이쪽이 훨씬 빠릅니다.
(1) 교점을 지나는 직선 다발 — 두 직선 3x+y−2=0, x−2y−3=0의 교점을 지나는 직선은 실수 k에 대하여 3x+y−2+k(x−2y−3)=0으로 한꺼번에 표현됩니다. 여기에 점 (2, 3)을 대입하면 (6+3−2)+k(2−6−3)=0, 즉 7−7k=0에서 k=1입니다. 대입해 정리하면 4x−y−5=0이 곧바로 나옵니다. 교점의 좌표를 따로 구하지 않고 l을 얻는 방식입니다.
(2) 원점에서 내린 수선의 발 공식 — 직선 ax+by+c=0에 원점에서 내린 수선의 발은 −aca²+b², −bca²+b²입니다. l : 4x−y−5=0이므로 a=4, b=−1, c=−5, a²+b²=17이 되어 좌표는 (2017, −517)로 즉시 결정됩니다. 분모 17이 왜 등장하는지도 이 식에서 바로 보입니다.
실수를 줄이는 전략
- 선지가 함정입니다. ③ 2017은 a의 값 그 자체, ① −517은 b의 값 그 자체입니다. 좌표를 정확히 구하고도 a+b를 묻는다는 것을 놓치면 그대로 오답이 됩니다. 문제 끝 문장에 밑줄을 긋고 시작하세요.
- 수직 조건은 ‘기울기의 곱 = −1’입니다. 4의 음의 역수는 −14이지, −4나 14가 아닙니다. 부호와 역수를 동시에 처리해야 합니다.
- 분수 기울기가 낀 연립은 먼저 분모를 없애고 시작하세요. 4x−5=−x/4를 그대로 이항하면 부호 실수가 잦지만, 양변에 4를 곱해 16x−20=−x로 바꾸면 17x=20 한 줄로 끝납니다.
- 수선의 발은 반드시 직선 l 위의 점입니다. 구한 (2017, −517)을 y=4x−5에 대입해 8017−5=−517임을 확인하면 30초 안에 검산이 끝납니다.
- STEP A의 교점 (1, −1)에서 y의 부호를 놓치면 기울기가 4가 아닌 값으로 나오고, 이후 계산은 전부 헛수고가 됩니다. 연립 직후 두 원식에 모두 대입해 확인하는 습관을 들이세요.