TOUGH
2024년 09월 고1 학력평가 20번
내분점
넓이 이등분
넓이비 = 길이비
출제의도
이 문항은 ‘직선 PC가 삼각형 AOB의 넓이를 이등분한다’라는 넓이 조건을, 좌표로 계산할 수 있는 길이의 비로 번역할 수 있는지를 묻습니다. 넓이라는 말만 보고 밑변과 높이를 직접 구하려 들면 미지수 a가 곳곳에 남아 식이 감당하기 어려워집니다.
핵심 장치는 직선 PC가 선분 AO와 만나는 점 Q를 스스로 도입하는 것입니다. 문제에 등장하지 않는 점을 하나 찍는 순간, 이등분 조건이 AQ : QO = 3 : 1이라는 깔끔한 비로 바뀌고 나머지는 내분점 공식과 직선의 방정식으로 마무리됩니다. TOUGH로 분류된 이유는 계산량이 아니라 이 ‘보조점 도입’이라는 한 수에 있습니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 직선 PC가 삼각형 AOB의 어디를 통과하는지 그림에서 확인하세요. 이 직선은 변 AB 위의 점 P에서 출발해 삼각형 내부를 가로지른 뒤 변 AO를 뚫고 나갑니다. 그 교점을 Q라고 이름 붙이는 것이 이 문제의 출발점입니다.
그러면 직선 PC가 잘라낸 두 조각 중 A쪽 조각은 삼각형 AQP가 됩니다. 삼각형 AOB의 넓이를 S로 놓고, 점 P가 AB를 2 : 1로 내분한다는 조건에서 삼각형 AOP의 넓이가 S의 몇 배인지부터 적어보세요. 밑변 AP와 AB가 한 직선 위에 있고 꼭짓점 O를 공유한다는 점이 열쇠입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
삼각형 AOP의 넓이는 23S, 이등분 조건에서 삼각형 AQP의 넓이는 12S입니다. 두 넓이를 빼면 삼각형 QOP의 넓이가 16S로 나옵니다. 삼각형 AQP와 QOP는 꼭짓점 P를 공유하고 밑변 AQ, QO가 한 직선 위에 있으므로 넓이의 비가 곧 밑변의 비입니다.
여기서 AQ : QO = 3 : 1을 얻으면 Q는 선분 AO를 3 : 1로 내분하는 점이므로 좌표가 a로 표현됩니다. P의 좌표도 내분점 공식으로 구해두고, 두 점 P와 C(−6, 0)을 지나는 직선의 방정식을 세운 뒤 Q를 대입하면 a에 대한 일차방정식이 완성됩니다. Q를 대입하는 이유는 Q가 처음부터 직선 PC 위의 점으로 정의되었기 때문입니다.
정답 확인
정답 ④ a = 12
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A삼각형 QOP의 넓이를 S로 나타내기
직선 PC와 선분 AO가 만나는 점을 Q라 하고 삼각형 AOB의 넓이를 S라 하겠습니다. 점 P가 선분 AB를 2 : 1로 내분하므로 AP : AB = 2 : 3이고, 따라서 삼각형 AOP의 넓이는 23S입니다. 직선 PC가 삼각형 AOB의 넓이를 이등분하므로 삼각형 AQP의 넓이는 12S이고,
(삼각형 QOP의 넓이) = (삼각형 AOP의 넓이) − (삼각형 AQP의 넓이) = 23S − 12S = 16S 입니다.
STEP B넓이의 비 3 : 1로 직선 PC의 방정식 구하기
두 삼각형 AQP와 QOP는 꼭짓점 P에서 내린 높이가 같으므로 넓이의 비는 밑변 AQ와 QO의 길이의 비와 같습니다. 넓이의 비가 12S : 16S = 3 : 1이므로 AQ : QO = 3 : 1입니다.
점 Q — 선분 AO를 3 : 1로 내분하므로 Q( (3·0+1·(−8))/4 , (3·0+1·a)/4 ), 즉 Q(−2, a4)
점 P — 선분 AB를 2 : 1로 내분하므로 P( (2·7+1·(−8))/3 , (2·3+1·a)/3 ), 즉 P(2, a+63)
두 점 P(2, (a+6)/3), C(−6, 0)을 지나는 직선 PC의 기울기는 {(a+6)/3 − 0} ÷ {2−(−6)} = (a+6)/24이므로, 직선 PC의 방정식은 y = a+624(x+6)입니다.
STEP CQ가 직선 PC 위의 점임을 이용해 a 구하기
점 Q(−2, a/4)는 직선 PC 위의 점이므로 a4 = a+624 × (−2+6), 즉 a4 = a+66입니다.
양변에 12를 곱하면 3a = 2(a+6), 즉 6a = 4(a+6)에서 2a = 24이므로 a = 12입니다. 양수 조건에도 어긋나지 않으므로 답은 ④입니다.
다른 풀이 · 두 변의 비로 넓이비를 한 번에 읽기
보조점 Q를 도입한 뒤 넓이를 두 번 빼는 대신, 삼각형 넓이비 공식을 쓰면 AQ : QO = 3 : 1이 한 줄에 나옵니다.
삼각형 AQP와 삼각형 AOB는 꼭짓점 A에서의 각을 공유합니다. 이런 두 삼각형의 넓이비는 끼인각을 낀 두 변의 길이의 곱의 비와 같으므로
(삼각형 AQP) : (삼각형 AOB) = (AQ × AP) : (AO × AB) 입니다.
여기서 왼쪽 비는 이등분 조건에서 1 : 2이고, AP : AB = 2 : 3이므로 AQAO × 23 = 12, 즉 AQ : AO = 3 : 4가 됩니다. 따라서 AQ : QO = 3 : 1이 곧바로 확정됩니다.
이후 마무리도 ‘직선의 방정식을 세우고 대입’하는 대신 세 점 C, Q, P가 한 직선 위에 있다는 기울기 조건으로 처리할 수 있습니다. (직선 CQ의 기울기) = a/16, (직선 QP의 기울기) = (a+24)/48이므로 a/16 = (a+24)/48에서 3a = a+24, 즉 a = 12로 같은 답이 나옵니다.
실수를 줄이는 전략
- 보조점 Q를 찍지 않으면 이 문제는 풀리지 않습니다. 넓이 조건이 주어졌는데 조건이 걸린 직선과 삼각형의 변이 만나는 점이 문제에 없다면, 그 교점을 먼저 이름 붙이는 것이 정석입니다.
- 넓이의 비를 길이의 비로 바꾸는 것은 높이가 같을 때만 성립합니다. 삼각형 AQP와 QOP는 꼭짓점 P를 공유하고 밑변이 직선 AO 위에 함께 있으므로 조건을 만족합니다. 아무 두 삼각형에나 적용하면 안 됩니다.
- 내분점 공식의 비 순서를 조심하세요. 선분 AO를 3 : 1로 내분하는 점은 A에서 먼 쪽, 즉 O에 가까운 점입니다. 3과 1을 바꿔 쓰면 Q(−6, 3a/4)가 되어 답이 완전히 달라집니다.
- 마지막에 대입하는 점은 반드시 Q여야 합니다. P는 직선 PC를 만들 때 이미 쓴 점이므로 다시 대입하면 항등식이 되어 a가 사라집니다.
- 구한 a가 양수인지 확인하는 습관을 들이세요. 이 문항은 a = 12로 조건을 만족하지만, 유사 유형에서는 음수 근을 걸러내야 하는 경우가 자주 나옵니다.