TOUGH
2023년 03월 고2 학력평가 26번
두 직선의 평행
두 점 사이의 거리
등변사다리꼴
출제의도
이 문항은 그림 없이 좌표만 주고, 두 개의 도형 조건을 각각 p, q에 대한 관계식으로 바꾼 뒤 연립하게 만드는 문제입니다. 조건 (나)의 두 조건 AB=CD와 AD∥BC가 각각 식 하나씩을 만들어 주므로, 미지수 2개에 식 2개라는 구조가 자연스럽게 완성됩니다.
일등급 문제로 배치된 이유는 조건 (가)의 역할 때문입니다. 거리 조건은 제곱 형태로 나오기 때문에 (q−p)²=1에서 q−p=1과 q−p=−1 두 가지 후보가 생기는데, 이 중 하나를 기울기의 부호로 잘라내라는 것이 (가)의 존재 이유입니다. 조건 (가)를 장식으로 읽고 넘어가면 답이 두 개로 갈라져 마무리를 못 하게 됩니다. 조건마다 ‘이건 무엇을 결정하려고 준 것인가’를 묻는 훈련용 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
미지수는 p, q 두 개입니다. 그러므로 조건에서 식 두 개를 뽑아내는 것이 목표라고 먼저 정해 놓으세요. 조건 (나)에 들어 있는 AB=CD(길이 조건)와 AD∥BC(평행 조건)가 각각 하나씩 담당합니다.
A(0, 1), B(0, 4)는 모두 y축 위의 점이므로 AB의 길이는 y좌표의 차인 3으로 곧바로 나옵니다. 그리고 C와 D의 x좌표 차이는 3√2−√2=2√2로 p, q와 무관하게 고정되어 있다는 점도 미리 확인해 두세요. 두 점 사이의 거리 공식을 쓸 때 이 값이 그대로 들어갑니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
먼저 AB=CD를 제곱해서 다루세요. 9 = (2√2)² + (q−p)² 꼴이 되어 (q−p)²=1이 나옵니다. 여기서 q−p=±1인데, 조건 (가)에서 직선 CD의 기울기 (q−p)/(2√2)가 음수라 했으므로 q−p=−1 하나만 살아남습니다.
다음으로 AD∥BC는 두 직선의 기울기가 같다는 뜻입니다. 직선 AD의 기울기는 (q−1)/(3√2), 직선 BC의 기울기는 (p−4)/√2이므로 이를 등식으로 놓고 양변에 √2를 곱해 정리하면 q−3p=−11 꼴의 일차식이 나옵니다. 이제 두 일차식을 연립해 p, q를 구하고 p+q까지 계산하세요.
정답 확인
정답 9 (p=5, q=4)
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP AAB=CD와 조건 (가)로 q−p 확정하기
두 점 C(√2, p), D(3√2, q)를 지나는 직선의 기울기는 (q−p)/(3√2−√2) = (q−p)/(2√2)이고, 조건 (가)에서 이 값이 음수이므로 q−p<0입니다.
한편 AB=4−1=3이고, CD=√((3√2−√2)²+(q−p)²)=√((q−p)²+8)입니다. 조건 (나)의 AB=CD를 제곱하면 9=(q−p)²+8, 즉 (q−p)²=1입니다. q−p<0이므로 q−p=−1 ······ ㉠
STEP BAD∥BC에서 두 번째 관계식 얻기
두 점 A(0, 1), D(3√2, q)를 지나는 직선 AD의 기울기는 (q−1)/(3√2)이고, 두 점 B(0, 4), C(√2, p)를 지나는 직선 BC의 기울기는 (p−4)/√2입니다. 두 직선이 평행하므로 기울기가 같습니다.
(q−1)/(3√2) = (p−4)/√2에서 양변에 3√2를 곱하면 q−1 = 3(p−4), 즉 3p−12 = q−1이므로 q−3p=−11 ······ ㉡
STEP C연립하여 p+q의 값 구하기
㉠에서 q=p−1이므로 이를 ㉡에 대입하면 (p−1)−3p=−11, 즉 −2p=−10에서 p=5이고 q=4입니다. 따라서 p+q=5+4=9입니다.
실제 좌표는 A(0, 1), B(0, 4), C(√2, 5), D(3√2, 4)로, 네 점은 AD∥BC이고 AB=CD=3인 등변사다리꼴을 이룹니다.
1등급 다른 풀이 · 원과 이동으로 읽기
두 조건을 각각 그림 언어로 바꾸면 계산이 눈에 보이는 형태로 바뀝니다.
먼저 AB=CD=3은 ‘점 D가 점 C를 중심으로 하는 반지름 3인 원 위에 있다’는 뜻입니다. 그런데 D의 x좌표는 C보다 정확히 2√2만큼 크므로, 원의 방정식 (2√2)²+(세로 이동)²=9에서 세로 이동은 ±1입니다. 조건 (가)가 기울기를 음수로 못 박았으니 C에서 D로 갈 때 아래로 1칸, 즉 q=p−1입니다.
다음으로 AD∥BC는 두 이동 (3√2, q−1)과 (√2, p−4)가 같은 방향이라는 뜻입니다. 가로 성분이 3√2와 √2로 정확히 3배 관계이므로 세로 성분도 3배여야 하고, 곧바로 q−1 = 3(p−4)가 나옵니다. 기울기를 분수로 쓰고 √2를 약분하는 과정을 통째로 건너뛸 수 있어, 무리수 좌표에서 생기는 계산 실수를 원천적으로 없애 줍니다.
실수를 줄이는 전략
- 제곱해서 얻은 (q−p)²=1에서는 근이 두 개입니다. 조건 (가)를 쓰지 않으면 답을 하나로 좁힐 수 없습니다. 부등호 조건이 따로 주어졌다면 반드시 부호 결정용이라고 생각하세요.
- 기울기가 음수라는 조건은 q−p<0이지 p<0이나 q<0이 아닙니다. 분모 2√2가 양수라는 점을 확인하고 분자만 판정하면 됩니다.
- 평행 조건에서 짝을 잘못 짓는 실수가 잦습니다. 이 문제에서 평행한 것은 AD와 BC이며, AB와 CD는 길이만 같고 평행하지 않은 두 변입니다. AB∥CD로 착각해 풀면 식이 모순으로 갑니다.
- 무리수 좌표는 √2를 하나의 덩어리로 묶어 처리하세요. 3√2−√2=2√2를 소수로 바꿔 계산하는 순간 오차와 실수가 함께 늘어납니다.
- 답을 구한 뒤에는 p=5, q=4를 원래 조건에 되돌려 확인하세요. 직선 CD의 기울기는 (4−5)/(2√2)로 음수이고 CD=√(8+1)=3=AB이므로 두 조건이 모두 성립합니다.
엄선된 풀이 영상
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